Los focos de una hipérbola a partir de su ecuación

en el último vídeo aprendimos que una elipse puede ser definida como el lugar geométrico de todos los puntos donde la suma de las distancias a dos puntos especiales llamados focos y permítanme dibujar todo esto entonces este es mi eje x la suma de las distancias a estos dos puntos especiales llamados focos o puntos focales es una constante entonces si éste es mi elipse la voy a dibujar que se vea más o menos donde quiero que esté justo por ahí se ve más o menos bien está centrada en el origen no tiene que estarlo pero para nuestros propósitos hagamos la centrada en el origen si este es un punto focal justo aquí y este es el otro punto focal este elipse se podría definir como un conjunto de todos los puntos o el lugar geométrico de todos los puntos donde si yo tomo la distancia de cualquiera de estos puntos que existen en la elipse a cada uno de los focos si tomo esa distancia y la sumo a esta distancia entonces vamos a llamarlos vamos a llamar a este de 1 este es de 2 que eso va a ser igual a un número constante a lo largo de toda la elipse entonces si tomo un punto al azar vamos a tomar otro punto a lo largo de la elipse digamos que tomó ese punto de aquí y si yo sumar a esta distancia si sumar a esta distancia a esa a esa distancia vamos a llamar esta vamos a llamar a esta justo aquí de 3 y esta es de 4 la suma de estas distancias a los pocos a lo largo de esta elipse va a ser una constante entonces en este caso de dos más de uno esté más s va a ser igual a de tres más de cuatro más de 4 y esto va a ser verdad a donde quiera que vayas a lo largo de toda la elipse y aprendimos en el vídeo anterior que esta cantidad en realidad va a ser igual a 2 a donde a es la distancia del radio semi mayor si esta es la fórmula para la elipse de aquí es de donde proviene la equis cuadrada sobre a cuadrada más de cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 y aprendimos que los focos la distancia focal o la distancia desde el centro de la elipse de la elipse que es esta distancia justo aquí esta distancia focal es justo igual a la raíz cuadrada de la diferencia de estos dos números entonces es solo podemos decir que esta es la distancia focal de aquí a acá es sólo igual a la raíz cuadrada de si es más grande entonces sería cuadrada menos cuadrada que es el caso en esta elipse si tenemos una elipse vertical y realmente no lo cubrí en el último vídeo pero déjenme solo mostrarles cómo se vería digamos que la elipse se ve algo como esto déjenme ver muy bien usaré azul digamos que la elipse se ve algo como eso en este caso nuestro radio se me mayor está ahora en la dirección y entonces esto es esto es ve esto es ah y en este caso ve es más grande que a cierto porque la elipse es alta y delgada en este caso los focos los focos siempre estarán en el eje mayor en este caso el eje mayor es el eje vertical así que los focos quedarán aquí y aquí y en este caso las distancias focales van a ser verticales desde el origen hacia abajo y verticales desde el origen hacia arriba y tenemos en lugar de ser a cuadrada menos b cuadrada ahora como ve es más grande que a la distancia focal que es ésta va a ser igual a be cuadrada menos a cuadrada muy bien ahora hice todo eso para más o menos compararlo con lo que vamos a cubrir en este vídeo que son los puntos focales o focos de una hipérbola y una hipérbola es es muy parecida a una elipse probablemente podrían podrían adivinarlo porque si esta es la ecuación de una elipse esta es la ecuación de una hipérbola x cuadrada sobre a cuadrada menos ye cuadrada sobre de cuadrada es igual a 1 o podríamos intercambiar estos donde el menos está frente a la equis en lugar de la ye y podríamos cubrir eso en un segundo pero esta hipérbola se ve algo como esto déjenme ver si puedo dibujarla si dibujo los ejes y luego yo quiero dibujarlas asiento estás podrían intentarlo podrían ver algunos de los vídeos previos pero las cintas para esta hipérbola van a ser y es igual más o menos ve sobre a por equis así que se van a ver solo dibujaré estas como líneas inclinadas así que se verían algo como eso y algo como eso esas son las cintas pero estas están centradas en el origen porque no han sido desplazadas y entonces esto es lo que yo llamo un tipo de hipérbola horizontal la forma en que pueden pensarlo es bien si resuelve para y verán que siempre van a estar un poco por debajo del asiento está la otra opción es y dicen bien pueden x oye ser igual a 0 bien sí que es igual a cero eso nos pone sobre el eje x cierto y obtenemos x cuadradas sobre a cuadrada es igual a 1 entonces sí que es igual a cero tenemos x cuadrada sobre a cuadrada es igual a 1 lo que significa que x cuadrada es igual a a cuadrada lo que significa que x es igual a más o menos a entonces los puntos a 0 como 0 y el punto menos a menos a 0 están ambos en esta hipérbola y como tienen a más o menos ser contenidos por estas asín todas nunca pasan por ellos saben que esto va a ser una una hipérbola que abre hacia la izquierda y hacia la derecha así que se verá algo como esto dejen de usar este color así que se verá algo hoy esta es la parte difícil se va acercando y acercando a ese lado y luego pueden ver esto como uno de los vértices de la hipérbola y va a ir más o menos así donde esta distancia y noten la semejanza aquí con la elipse esta distancia justo aquí déjenme hacer esto en un color más llamativo esta distancia justo aquí entre estos dos supongo que les podría llamarlos los conos de las doce elipses esa distancia justo ahí esto es a y esto también está así que tienen una distancia de 2 a que es muy similar a esta situación donde esta distancia es ah y esta distancia es así que la distancia entre los dos puntos a la izquierda y derecha en una elipse horizontal es la misma distancia entre los dos puntos a la izquierda y derecha en la hipérbola es sólo que la hipérbola abre hacia afuera mientras que la elipse abre hacia adentro muy bien pero todo el punto de este vídeo es discutir los focos como se podrán haber imaginado y lo toque un poco en el último vídeo que la hipérbola también tiene focos pero ellos abren ellos van a estar a la derecha ya la izquierda de estos dos puntos entonces esto es a dejen de hacer los déjenme hacerlos en un color más brillante porque quiero que puedan verlos digamos que esos dos son esos son los focos y una hipérbola esto es noten la diferencia una elipse una de las definiciones de una elipse era el lugar geométrico de todos los puntos o el conjunto de todos los puntos porque la distancia de cada uno de los puntos la suma de la distancia de cada uno de esos puntos a los dos focos es una constante ahora la definición de una hipérbola una de las definiciones de una hipérbola puede ser el lugar geométrico de todos los puntos donde tomándola la diferencia no la suma tomás la diferencia de las distancias entre los dos focos así que déjame escribir eso así que esta es de 1 y esta es de 2 así que tenemos una situación aquí y vamos a tomar podemos tomar el valor absoluto de la diferencia porque puede haber puede que para algunos puntos de uno sea más grande que de dos si están sobre esta curva pero si están sobre esta curva de uno será más pequeña que de dos así que de 1 - de 2 el valor absoluto va a ser igual a una constante en la situación de la elipse de 1 más de 2 era una constante así que están relacionadas estrechamente están en la elipse estamos tomando la suma de las distancias a los puntos focales y decimos que es una constante en una hipérbola estamos tomando la diferencia de las distancias a los puntos focales y decimos que eso es una constante así que este número justo aquí va a ser exactamente la misma cosa que si tomo un punto justo aquí y estoy escogiendo estos puntos arbitrariamente siempre y cuando estén en la hipérbola y si llamo a estos dos puntos llamamos a este y t4 la diferencia entre de uno y de dos es la misma cosa que la distancia la diferencia entre de 3 menos de 4 esto va a ser una constante a lo largo de toda la hipérbole entonces la siguiente pregunta es que va a ser igual esta constante y aquí es donde es es útil encontrar un punto donde es donde más o menos puedes tener la intuición y lo hicimos con las hélices donde dijimos si tomamos estos puntos utilizamos la lógica en el último vídeo para decir oh la distancia entre la suma de las distancias entre esto y esto esa suma va a ser igual a vimos va a ser igualados a es la distancia del eje semi mayor cierto porque esta distancia era la misma distancia que esta distancia así que esto más esto es lo mismo que esto más eso que es 2a cierto así que todo el tiempo las constantes la suma de las distancias a los dos focos era igual a 2a y ahora en la hipérbola cuál es la diferencia de las distancias a los dos focos así que tomemos este punto justo aquí sobre la hipérbola y estamos diciendo así que cuál es cuál es déjenme tomar un buen color cuál es la distancia magenta qué es la distancia a ese foco menos esto déjenme escoger otro color menos esta distancia azul claro esta distancia magenta menos esta distancia azul claro así que podemos hacer un argumento muy similar al que hicimos en la situación de la elipse esta distancia azul claro es la misma está la distancia de este vértice o de este supongo que saben este punto más a la izquierda de esta hipérbola que abre hacia la derecha a este foco es la misma distancia que esta distancia porque la hipérbola es simétrica alrededor del origen o la distancia focal es la misma a cada lado del centro de la hipérbola dependiendo de cómo lo vean pero creo que eso es un un ese no es un gran argumento para que ustedes lo acepten así que si esta distancia es la misma que esta distancia entonces la distancia magenta menos esta distancia azul claro va a ser igual a esta distancia a esta distancia verde cierto y esta distancia verde es que estos a vimos eso al principio de este vídeo así que esto es una vez más es también igual a 2 y de cualquier manera los voy a dejar aquí por ahora de hecho bien para vamos de hecho a hacer un problema más solo porque me gustaría hacer uno concreto porque les dije al principio que si ustedes querían encontrarla digamos la así que sí tienen una elipse así que si ustedes y esto es una elipse x cuadrada sobre a cuadrada más que cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 aprendimos que la distancia focal es igual a la ra es cuadrada de a cuadrada menos b cuadrada ahora para la hiper fila ustedes ustedes más o menos ven que hay una relación estrecha entre la elipse y la hipérbola pero es más o menos algo divertido para reflexionar sabe y la adecuación de una hipérbola se ve como esto x cuadrada sobre a cuadrada menos que cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 o podría ser que cuadrada sobre b cuadrada - x cuadrada sobre a cuadrada es igual a 1 y resulta que les voy a probar esto en el siguiente vídeo es un problema de matemáticas pesado que la distancia focal de una hipérbola es igual a la raíz cuadrada de la suma de estos dos números es igual a la suma de cuadrada más b cuadrada así que si yo les diera y noten que la diferencia es solo la diferencia en signo están tomando la diferencia de esos dos denominadores y ahora están tomando la suma de los dos denominadores así que si yo les diera a ustedes la siguiente hipérbola x cuadrada sobre 9 - que cuadraba sobre 16 es igual a 1 bien la primera cosa que hacen es aunque yo nunca bien podríamos descifrar la distancia focal solo conectándonos a la fórmula la distancia focal es igual a la raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada donde esto es a cuadrada cierto a es 3 b es 4 así que 916 es 25 lo que es igual a 5 y si fuéramos a graficar esto déjenme ver ese es mi eje y ese es mi eje x es y la distancia focal es la distancia a la en este caso a la izquierda y a la derecha del origen si fuera del tipo del perb o la que abre hacia arriba y abajo sería por encima y por debajo del origen así que esto es así que las dos así en total esto está centrado en el origen no ha sido desplazado van a ser 16 sobre 9 así que van a ser unas muy empinadas así en total se van a ver algo como eso eso esas son las a síntomas los dos vértices están en dos veces a estrés cierto a cuadrada es igual a 9 b es igual a 16 así que esto es centro así que los dos vértices este estrés y este es menos 3 y entonces los puntos focales van a estar en 5 desde el centro a la derecha así que estará justo aquí entonces ese es 5,050 y menos 5,0 este es menos 3 y este es 3 entonces si fuéramos a graficar lo se vería algo como esto ahí tienen y si tomarán arbitrariamente un punto sobre esa hipérbola y toman esta distancia y sustraen esa de esa distancia entonces sería un número constante que sería exactamente igual a 2a o exactamente igual a 6 en este particular ejemplo de cualquier manera en el siguiente vídeo les probaré esta fórmula lo que es un poco de álgebra intensa pero es divertido a pesar de todo