Aprende cómo reescribir cualquier logaritmo con logaritmos de una base diferente. !Esto es muy útil para determinar logaritmos en una calculadora!
Supongamos que queremos encontrar el valor de la expresión log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis. Como 50 no es una potencia racional de 2, es difícil evaluar esto sin una calculadora.
Sin embargo, la mayoría de las calculadoras solo pueden calcular directamente logaritmos en base 10 y base e. Así que, para encontrar el valor de log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis, primero debemos cambiar la base del logaritmo.

La regla de cambio de base

Podemos cambiar la base de cualquier logaritmo con la siguiente regla:
Observaciones:
  • Al usar esta regla, puedes escoger cambiar el logaritmo a cualquier base start color greenE, x, end color greenE.
  • Como siempre, los valores de entrada de los logaritmos deben ser positivos, y las bases de los logaritmos deben ser positivas y diferentes de 1, ¡para que esta propiedad funcione!

Ejemplo: evaluar log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis

Si tu meta es encontrar el valor del logaritmo, cambia la base a 10 o e, pues estos logaritmos se pueden calcular en la mayoría de las calculadoras.
Así que cambiemos la base de log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis a start color greenD, 10, end color greenD.
Para hacer esto aplicamos la regla de cambio de base, con b, equals, 2, a, equals, 50, y x, equals, 10.
log2(50)=log10(50)log10(2)Regla de cambio de base=log(50)log(2)Pueslog10(x)=log(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{Regla de cambio de base}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Pues} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Ahora podemos encontrar el valor con una calculadora.
log2(50)5.644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5.644 \end{aligned}
Si tienes la curiosidad, esto funciona exactamente igual en base start color greenD, e, end color greenD.
log2(50)=loge(50)loge(2)Regla de cambio de base=ln(50)ln(2)Puesloge(x)=ln(x)5.644Evalúa en la calculadora\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{e}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{e}}(\blueD{2})} &&\small{\gray{\text{Regla de cambio de base}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\ln(50)}{\ln(2)} &&\small{\gray{\text{Pues} \log_{e}(x)=\ln(x)}}\\\\\\\\ &\approx5.644&&\small{\gray{\text{Evalúa en la calculadora}}} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

1) Evalúa log, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Cambiemos la base de log, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, 20, right parenthesis a start color greenD, 10, end color greenD para que podamos evaluar el logaritmo.
log3(20)=log10(20)log10(3)Regla de cambio de base=log(20)log(3)Pueslog10(x)=log(x)2.727Evalúa con una calculadora\begin{aligned}\log_\blueD 3(\purpleC{20})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{20})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD{3})} &&\small{\gray{\text{Regla de cambio de base}}}\\ \\ &=\dfrac{\log(20)}{\log(3)} &&\small{\gray{\text{Pues} \log_{10}(x)=\log(x)}}\\\\\\ &\approx 2.727&&\small{\gray{\text{Evalúa con una calculadora}}} \end{aligned}
Observa que podríamos haber escogido cambiar a base e, y ¡habríamos obtenido el mismo valor!
2) Evalúa log, start subscript, 7, end subscript, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Cambiemos la base de log, start subscript, 7, end subscript, left parenthesis, 400, right parenthesis a start color greenD, 10, end color greenD, para poder aproximar el logaritmo.
log7(400)=log10(400)log10(7)Regla de cambio de base=log(400)log(7)Pueslog10(x)=log(x)3.079Evalúa con una calculadora\begin{aligned}\log_\blueD{7}(\purpleC{400})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{400})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD{7})} &&\small{\gray{\text{Regla de cambio de base}}}\\ \\ &=\dfrac{\log(400)}{\log(7)} &&\small{\gray{\text{Pues} \log_{10}(x)=\log(x)}}\\\\\\ &\approx 3.079&&\small{\gray{\text{Evalúa con una calculadora}}} \end{aligned}
Observa que podríamos haber escogido cambiar a base e, y ¡habríamos obtenido el mismo valor!
3) Evalúa log, start subscript, 4, end subscript, left parenthesis, 0, point, 3, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Cambiemos la base de log, start subscript, 4, end subscript, left parenthesis, 0, point, 3, right parenthesis a start color greenD, 10, end color greenD, para poder aproximar el logaritmo.
log4(0.3)=log10(0.3)log10(4)Regla de cambio de base=log(0.3)log(4)Pueslog10(x)=log(x)0.868Evalúa con una calculadora\begin{aligned}\log_\blueD{4}(\purpleC{0.3})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{0.3})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD4)} &&\small{\gray{\text{Regla de cambio de base}}}\\ \\ &=\dfrac{\log(0.3)}{\log(4)} &&\small{\gray{\text{Pues} \log_{10}(x)=\log(x)}}\\\\\\ &\approx -0.868&&\small{\gray{\text{Evalúa con una calculadora}}} \end{aligned}
Observa que podríamos haber escogido cambiar a base e, y ¡habríamos obtenido el mismo valor!

Justifcar la regla de cambio de base

En este punto, puede ser que estés pensando: "Muy bien, pero ¿por qué funciona esta regla?"
log, start subscript, b, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, space, left arrow, start color goldD, R, e, g, l, a, space, d, e, space, c, a, m, b, i, o, space, d, e, space, b, a, s, e, end color goldD
Para exmainar esto, regresemos a la expresión original log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis. Si asignamos log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, entonces tenemos que 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Como los dos valores son iguales, podemos evaluar el log de cualquier base en ambos lados. Ahora tenemos:
Como n, equals, log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis, tenemos que log, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, ¡como queríamos!
Con la misma lógica podemos demostrar la regla de cambio de base. Solamente cambiemos 2 por b y 50 por a, y ¡he ahí tu demostración!
Sea log, start subscript, b, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, n. Al escribir esto en forma exponencial, tenemos la ecuación b, start superscript, n, end superscript, equals, a.
Ahora tenemos:
Como n, equals, log, start subscript, b, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, tenemos que log, start subscript, b, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction.

Problemas de desafío

1) Evalúa start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction sin usar una calculadora.
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Al usar la regla de cambio de base, podemos escribir start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction como log, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, 81, right parenthesis.
(Esto puede parecer extraño, pero es ¡simplemente la regla de cambio de base aplicada en sentido inverso!)
Como 3, start superscript, 4, end superscript, equals, 81, la expresión es igual a 4.
2) ¿Cuál expresión es equivalente a log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start subscript, 6, end subscript, left parenthesis, a, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Observa que el valor de entrada del primer logaritmo es igual a la base del segundo logaritmo. Si aplicamos la regla de cambio de base, podemos cancelar factores comunes.
Como la base del primer logaritmo es 10, cambiemos la base del segundo logaritmo también a 10.