Transformar gráficas exponenciales (ejemplo 2)

la gráfica de ye igual a un medio elevado a la x se muestra abajo y aquí tenemos la gráfica de esta función verdad un medio elevado a la equis y vemos que en efecto es una gráfica de una función exponencial verdad nos preguntan cuál de las siguientes es la gráfica de ye igual a un medio elevado a la 3 menos x menos 2 y por supuesto aquí están las cuatro opciones que nos dan pero antes de ver estas cuatro opciones con detalle a mí me gustaría que pensemos en cómo se vería esta función si es que la transformamos verdad ya que como puedes ver esta función de aquí es en esencia una transformación de esta función original entonces la gráfica debería verse como una transformación también de esta gráfica original entonces la pregunta es cómo vamos a transformar esta función entonces vamos a ir describiendo cómo es que podemos transformarla por ejemplo aquí primero tendríamos que hacer un medio elevado a la menos x verdad aquí está menos x y luego trasladarla o transformarla a 3x y luego restarle 2 entonces veamos primero qué pasaría con ye igual a un medio elevado a la menos x muy bien entonces pensaremos en ye igual a un medio elevado a la menos x y esencialmente cuando cambiamos nuestra variable independiente que en este caso es x x menos x lo que estamos haciendo es reflejar la gráfica de la función con respecto al eje vertical es decir al eje de verdad entonces más o menos esto se vería como un exponencial pero que ahora crece hacia el lado derecho verdad entonces por ejemplo veamos algunos valores aquí digamos cuando x es igual a 0 un medio a la menos 0 sigue siendo 1 entonces pasará justo por este valor también verdad lo cual tiene sentido porque está justo sobre nuestro a partir del cual vamos a reflejar verdad qué pasaría si por ejemplo x fuera digamos el 2 por ejemplo qué pasaría si x fuera 2 verdad entonces si x fuera 2 tendríamos un medio de un medio elevado a la menos 2 o lo que es lo mismo 2 elevado a la 2 que es 4 verdad entonces tendríamos este valor de aquí entonces por ejemplo si x fuera 3 tendríamos si tendríamos un medio elevado a la menos 3 verdad pero un medio elevado a la menos 3 sería 2 elevada a la 3 que sería 8 verdad entonces más o menos esto se vería algo así tendríamos una gráfica que se vería más o menos así y por supuesto cuando x se haga muy negativo verdad tendríamos un medio elevado a un número muy muy muy grande pero como un medio es más chico que 1 esto se apachurra en 0 verdad entonces tendremos una sin tota en 0 y más o menos se ve así la gráfica de esta función ahora nosotros tenemos ya igual a un medio elevado a la 3 - x menos 2 pensemos ahora antes que pasa con e igual a un medio elevado a la 3 - x entonces cuando tenemos una expresión digamos parecida pero en donde estamos sumando digamos una constante a donde tenemos nuestro exponente lo que estaba ocurriendo es que esta gráfica se está trasladando verdad entonces por ejemplo veamos algunos valores veamos algunos valores por ejemplo para que el valor de x este exponente ahora será 0 verdad antes era para x igual a 0 y por eso es que cruzaba aquí el eje verdad pero para que el valor de x ahora este exponente será 0 pues ahora el exponente será cero cuando x sea igual a 3 entonces cuando x es igual a 3 tendremos este punto de aquí verdad este punto de aquí ahora bien por ejemplo para que el valor de x esto tiene el valor de menos 1 por ejemplo entonces 3 menos 4 nos da menos 1 y un medio a la menos 1 2 verdad entonces cuando x es igual a 4 la función vale 2 entonces cómo podemos ver esta gráfica lo único que está haciendo es trasladarse 3 unidades a la derecha así que toda esta gráfica verdad se verá justamente digamos trasladada tres unidades a la derecha verdad es simplemente la gráfica azul trasladada a tres unidades a la derecha y por supuesto mi dibujo no es muy preciso verdad pero más o menos nos da una idea de qué es lo que está ocurriendo y por supuesto tendrá la misma asiento está muy bien entonces ahora con esto ya podemos ver qué ocurre con la función que nos interesa igual a un medio elevado a la 3 - x menos 2 y esencialmente lo que está haciendo el menos 2 es desplazar toda nuestra gráfica que ya habíamos construido pero dos unidades hacia abajo verdad entonces por ejemplo si nuestra cinta está estaba en de igual a cero verdad de igual a cero ahora la sin tota se encontrará en de igual a menos 2 así que voy a ponerla por aquí esta será nuestra así en total por ejemplo si en x igual a 3 valía 1 verdad como ahora estamos trasladando 2 abajo ahora vale menos 1 como en x igual a 4 valía 2 y estamos trasladando 2 abajo ahora vale 0 verdad entonces con estos puntos ya más o menos podemos esbozar la gráfica que le corresponde que es exactamente la que teníamos en rosa pero está trasladada dos unidades hacia abajo verdad y por supuesto aquí tenemos nuestra cinta verdad más o menos así se ve la gráfica entonces con esto ya podemos analizar nuestras opciones que tenemos verdad por ejemplo qué pasaría con la opción a bueno la opción a tenemos que descartarla porque si nos damos cuenta de hecho lo voy a hacer con un color más oscuro si nos damos cuenta ésta crece hacia el lado izquierdo cuando nuestra gráfica azul crece hacia el lado derecho entonces ésta no puede ser verdad lo mismo digamos tiene el mismo problema la opción b porque ésta crece asintóticamente hacia digamos hacia la cinta está justamente y no es así verdad para aproximarnos a la cinta es para x muy negativo entonces esta opción no va veamos qué ocurre con la opción c bueno está más o menos tiene la geometría que estábamos buscando verdad que hacia atrás se aproxima la cinta y crezca hacia la derecha y la cinta está de hecho se encuentra en igual a menos 2 verdad más o menos aquí se ve la 5ta entonces ésta puede ser una buena opción y por ejemplo podemos descartar la opción de verdad porque en efecto ésta no crece cuando x tiende digamos a valores cada vez más y más grandes entonces la opción correcta para este ejercicio es la opción c y también hay otra manera de resolver este problema a mí en realidad me gusta mucho hacerlo de esta forma porque se aprecia muy bien cómo es que se va transformando la gráfica pero por ejemplo podríamos haber pensado algo de este estilo por ejemplo tengo ye igual a un medio a la 3 menos x y luego restamos entonces podemos analizar qué pasa con este término cuando x es muy negativo cuando x es muy negativo entonces este exponente se hace cada vez más grande pero además se hace positivo verdad crece muchísimo y un medio elevado a un exponente muy grande pues tiende a cero verdad porque un medio es un número más chico que uno y a medida que uno vea va aumentando el exponente esto se hace un número cada vez más pequeño y luego si restamos dos pues nos aproximaremos hacia menos dos de ahí la idea de nuestra a sin tota y después podríamos haber construido por ejemplo una tablita y ver dos valores verdad por ejemplo aquí podríamos poner x podríamos poner ye poner bien nuestra tabla aquí está xy aquí está y entonces cuando x tiende a menos infinito dijimos que ya se aproxima a menos 2 ahora cuando x por ejemplo démosle el valor de 3 cuando x es igual a 3 entonces 3 menos 13 0 un medio a la cero es uno y uno menos dos nos da menos uno ahora bien por ejemplo digamos que x es igual a 43 menos 4 es menos uno un medio a la menos uno es 2 y si luego le restamos 2 nos da 0 entonces justamente son estos dos puntos aquí está x igual a 3 nos da menos 1 y x igual a 4 nos da 0 verdad ahí tenemos nuestros dos puntos y con esto ya podríamos verificar que la opción c es la respuesta correcta verdad entonces espero que de verdad hayas disfrutado este ejercicio