Aprende qué son los logaritmos y cómo evaluarlos. 

Temas con los que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Deberías estar familiarizado con los exponentes, de preferencia también con los exponentes negativos.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás qué son los logaritmos, y evaluarás algunos logaritmos básicos. Esto te preparará para el trabajo futuro con expresiones y funciones logarítmicas.

¿Qué es un logaritmo?

Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.
Por ejemplo, sabemos que 2\blueD2 elevado a la 4a\greenE4^\text{a} potencia es igual a 16\goldD{16}. Esto se expresa con la ecuación exponencial 24=16\blueD2^\greenE4=\goldD{16}.
Ahora supongamos que nos preguntan: "¿2\blueD2 elevado a qué potencia es igual a 16\goldD{16}?" La respuesta sería: 4\greenE4. Esto se expresa con la ecuación logarítmica log2(16)=4\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4 (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").
24=16log2(16)=4\Large \blueD2^\greenE4=\goldD{16}\quad\iff\quad\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números 2\blueD2, 4\greenE4, y 16\goldD{16}; donde 2\blueD2 es la base y 4\greenE4 es el exponente.
La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia 16\goldD{16}, y la forma logarítmica aísla el exponente 4\greenD 4.
He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.
Forma logarítmicaForma exponencial
log2(8)=3\log_\blueD2(\goldD{8})=\greenD3\iff23=8\blueD2^\greenD3=\goldD8
log3(81)=4\log_\blueD3(\goldD{81})=\greenD4\iff34=81\blueD3^\greenD4=\goldD{81}
log5(25)=2\log_\blueD5(\goldD{25})=\greenD2\iff52=25\blueD5^\greenD2=\goldD{25}

Definición de un logaritmo

Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.
logb(a)=cbc=a\Large\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c\quad \iff\quad \blueD b^\greenD c=\goldD a
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre a\goldD a, b\blueD b, y c\greenE c:
  • b\blueD b es la base\blueD{\text{base}},
  • c\greenE c es el exponente\greenE{\text{exponente}}, y
  • a\goldD a es el valor de entrada\goldD{\text{valor de entrada}}.

Una observación útil

Al reescribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente.

Comprueba tu comprensión

En los siguientes problemas convertirás entre formas exponenciales y logarítmicas de ecuaciones.
1) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a 25=322^5=32?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
Sabemos que bc=a \blueD b^\greenD c=\goldD a es equivalente a logb(a)=c\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c.
Con esta equivalencia podemos reescribir 25=32\blueD 2^\greenD 5=\goldD{32} como log2(32)=5\log_\blueD 2(\goldD{32})=\greenD{5}.
La respuesta es log2(32)=5\log_2(32)=5.
2) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a 53=1255^3=125?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
Sabemos que bc=a \blueD b^\greenD c=\goldD a es equivalente a logb(a)=c\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c.
Con esta equivalencia podemos reescribir 53=125\blueD 5^\greenD 3=\goldD{125} como log5(125)=3\log_\blueD 5(\goldD{125})=\greenD{3}.
La respuesta es log5(125)=3\log_5(125)=3.
3) Escribe log2(64)=6\log_2(64)=6 en forma exponencial.
Sabemos que logb(a)=c\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c es equivalente a bc=a \blueD b^\greenD c=\goldD a.
Con esta equivalencia podemos reescribir log2(64)=6\log_\blueD 2(\goldD{64})=\greenD{6} como 26=64\blueD 2^\greenD 6=\goldD{64}.
La respuesta es 26=642^6=64.
4) Escribe log4(16)=2\log_4(16)=2 en forma exponencial.
Sabemos que logb(a)=c\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c es equivalente a bc=a \blueD b^\greenD c=\goldD a.
Con esta equivalencia podemos reescribir log4(16)=2\log_\blueD 4(\goldD{16})=\greenD{2} como 42=16\blueD 4^\greenD 2=\goldD{16}.
La respuesta es 42=164^2=16.

Evaluar logaritmos

¡Excelente! Ahora que ya entendemos la relación en tre exponentes y logaritmos, veamos si podemos evaluar logaritmos.
Por ejemplo, evaluemos log4(64)\log_4(64).
Empecemos por igualar esa expresión a xx.
log4(64)=x\log_4(64)=x
Al escribir esto como una ecuación exponencial, obtenemos:
4x=644^x=64
¿44 elevado a qué potencia es 6464? Pues bien, 43=64\blueD4^\greenD 3=\goldD{64}, así que log4(64)=3\log_\blueD4(\goldD{64})=\greenD3.
Con la práctica podrás condensar algunos de estos pasos, y evaluar log4(64)\log_4(64) simplemente preguntando "¿44 elevado a qué potencia es 6464?"

Comprueba tu comprensión

Recuerda que para evaluar logb(a)\log_\blueD{b}(\goldD{a}), puedes preguntar: "¿b\blueD b elevado a qué potencia es a\goldD a?"
5) log6(36)=\log_6(36) =
Sea log6(36)=x\log_6(36)=x. Esto es equivalente a 6x=366^x=36.
¿66 elevado a qué potencia es 3636?
62=366^\tealD2=36, así que log6(36)=2\log_6(36)=\tealD2.
6) log3(27)=\log_3(27)=
Sea log3(27)=x\log_3(27)=x. Esto es equivalente a 3x=273^x=27.
¿33 elevado a qué potencia es 2727?
33=273^\tealD 3=27, así que log3(27)=3\log_3(27)=\tealD 3.
7) log4(4)=\log_4(4)=
Sea log4(4)=x\log_4(4)=x. Esto es equivalente a 4x=44^x=4.
¿44 elevado a qué potencia es 44?
41=44^\tealD 1=4, así que log4(4)=1\log_4(4)=\tealD 1.
8) log5(1)=\log_5(1)=
Sea log5(1)=x\log_5(1)=x. Esto es equivalente a 5x=15^x=1.
¿55 elevado a qué potencia es igual a 11?
50=15^0=1, así que log5(1)=0\log_5(1)=0.
De hecho, logb(1)=0\log_b(1)=0 para todas las bases posibles. Esto porque cualquier número elevado a la potencia cero es 11.

Problema de desafío

9*) log3(19)=\log_3\left(\dfrac19\right)=
Sea log3(19)=x\log_3\left(\dfrac19\right)=x. Esto es equivalente a 3x=193^x=\dfrac19.
¿33 elevado a qué potencia es 19\dfrac19?
32=193^\tealD {-2}=\dfrac19, así que log3(19)=2\log_3\left(\dfrac19\right)=\tealD {-2}.

Restricciones en las variables

logb(a)\log_b(a) está definido cuando la base bb es positiva y diferente de 11, y el argumento o valor de entrada aa es positivo. Estas restricciones son resultado de la conexión entre logaritmos y exponentes:
RestricciónRazonamiento
b>0b>0En una función exponencial la base bb debe ser positiva, por definición.
a>0a>0logb(a)=c\log_b(a)=c significa que bc=ab^c=a. Como un número positivo elevado a cualquier potencia es positivo, o sea bc>0b^c>0, tenemos que a>0a>0.
b1b\neq1Supongamos por un momento que bb pudiera ser 11. Consideremos ahora la ecuación log1(3)=x\log_1(3)=x. La forma exponencial equivalente sería 1x=31^x=3. Pero esto nunca puede ser verdadero, pues 11 elevado a cualquier potencia es siempre 11. Así, tenemos que b1b\neq1.

Logaritmos especiales

Aunque la base de un logaritmo puede ser una de muchos valores, hay dos bases que se utilizan más que las demás.
Específicamente, la mayoría de las calculadoras tienen botones para estos dos tipos de logaritmos. Veamos cuáles.

El logaritmo común

El logaritmo común es un logaritmo cuya base es 1010 ("logaritmo base 1010").
Al escrinir estos logaritmos matemáticamente omitimos la base. Se entiende que es 1010.
log10(x)=log(x)\log_{10}{(x)}=\log(x)

El logartitmo natural

El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es ee ("logaritmo base ee").
El número ee es una constante matemática. Es un número irracional aproximadamente igual a 2.718. Aparece en muchos contextos que involucran límites, los cuales seguramente aprenderás cuando estudies cálculo. Por ahora, piensa en ee como cualquier otro número.
En lugar de escribir la base ee, indicamos este logaritmo como ln\ln.
loge(x)=ln(x)\log_e(x)=\ln(x)
Esta tabla resume lo que necesitamos saber acerca de estos dos logaritmos especiales:
NombreBaseNotación usualNotación especial
Logaritmo común1010log10(x)\log_{10}(x)log(x)\log(x)
Logaritmo naturaleeloge(x)\log_e(x)ln(x)\ln(x)
Aunque la notación es diferente, ¡la idea para evaluar un logaritmo es exactamente la misma!
¡Claro! he aquí dos ejemplos con sus soluciones.

Ejemplo 1

Evalúa log(100)\log(100).

Solución 1

Por definición, log(100)=log10(100)\log(100)=\log_{10}(100).
¿1010 elevado a qué potencia es 100100?
102=10010^\tealD 2=100, así que log(100)=2\log(100)=\tealD 2.

Ejemplo 2

Evalúa ln(e3)\ln(e^3).

Solución 2

Por definición, ln(e3)=loge(e3)\ln(e^3)=\log_{e}(e^3).
¿ee elevado a qué potencia es e3e^3?
e3=e3e^\tealD3=e^3, así que ln(e3)=3\ln(e^3)=\tealD3.

¿Para qué estudiamos logaritmos?

Como acabas de aprender, los logaritmos revierten los exponentes. Por esta razón son muy útiles para resolver ecuaciones exponenciales.
Por ejemplo, el resultado de 2x=52^x=5 puede darse como un logaritmo: x=log2(5)x=\log_2(5). En las siguientes lecciones aprenderás a evaluar esta expresión logarítmica.
Las expresiones y funciones logarítmicas también resultan ser muy interesantes por sí mismas, y son muy comunes en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, muchos fenómenos físicos se miden con escalas logarítmicas.

¿Qué sigue?

Aprende sobre las propiedades de logaritmos that help us rewrite logarithmic expressions, and about the change of base rule,con las cuales podemos evaluar cualquier logaritmo con una calculadora.
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