Estudia las demostraciones de las propiedades de logaritmos: las reglas del producto, del cociente, y de potencias.
En esta lección demostraremos tres propiedades de los logaritmos: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Antes de empezar, recordemos un hecho útil, que nos ayudará en el camino.
logb(bc)=c\large\log_b(b^c)=c
En otras palabras, un logaritmo base bb ¡invierte el efecto de la potencia con base bb!
Ten esto en mente mientras lees las demostraciones que siguen.

La regla del producto: logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

Empecemos demostrando un caso específico de la regla: el caso en el que M=4M=4, N=8N=8, b=2b=2.
Al sustituir estos valores en logb(MN)\log_b(MN), vemos que:
log2(48)=log2(2223)22=4 y 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)Pues  y 2=log2(4)3=log2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ y } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Pues $2=\log_2(4)$ y $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Así, tenemos que log2(48)=log2(4)+log2(8)\log_2({4\cdot 8})=\log_2(4)+\log_2(8).
Aunque esto solamente verifica un caso, podemos utilizar la misma lógica para demostrar la regla del producto en general.
Observa que escribir 44 y 88 como potencias de 22 fue la clave de la demostración. Así que, en general, queremos que MM y NN sean potencias de base bb. Para hacer esto, hagamos que M=bxM=b^x y N=byN=b^y para algunos números reales xx y yy.
Entonces, por definición, también es cierto que logb(M)=x\log_b(M)=x y logb(N)=y\log_b(N)=y.
Ahora tenemos:
logb(MN)=logb(bxby)Sustitucinoˊ=logb(bx+y)Propiedades de exponentes=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Sustitucinoˊ\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}} \end{aligned}

La regla del cociente: logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

La demostración de esta propiedad usa un método similar al que usamos anteriormente.
Nuevamente, si hacemos que M=bxM=b^x y N=byN=b^y, entonces tenemos que logb(M)=x\log_b(M)=x y logb(N)=y\log_b(N)=y.
Ahora podemos demostrar la regla del cociente como sigue:
logb(MN)=logb(bxby)Sustitucinoˊ=logb(bxy)Propiedades de exponentes=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Sustitucinoˊ\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}} \end{aligned}

La regla de la potencia: logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Esta vez solamente MM está involucrada en la propiedad, así que es suficiente hacer que M=bxM=b^x, con lo cual obtenemos logb(M)=x\log_b(M)=x.
La demostración de la regla de la potencia se muestra a continuación.
logb(Mp)=logb((bx)p)Sustitucinoˊ=logb(bxp)Propiedades de exponentes=xplogb(bc)=c=logb(M)pSustitucinoˊ=plogb(M)La multiplicacin es conmutativaoˊ\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{La multiplicación es conmutativa}}} \end{aligned}
Alternativamente podemos justificar esta propiedad con la regla del producto.
Por ejemplo, sabemos que logb(Mp)=logb(MM...M)\log_b(M^p)=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M), donde MM se multiplica por sí mismo pp veces.
Ahora podemos utilizar la regla del producto, con la definición de multiplicación como una suma repetida, para completar la demostración. Esto se muestra a continuación.
logb(Mp)=logb(MM...M)Definicin de exponentesoˊ=logb(M)+logb(M)+...+logb(M)Regla del producto=plogb(M)Suma repetida es multiplicacinoˊ\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Definición de exponentes}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Regla del producto}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Suma repetida es multiplicación}}}\end{aligned}
¡Y ahí lo tienes! ¡Hemos demostrado las tres propiedades de los logaritmos!
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