Aprende las propiedades de logaritmos y cómo utilizarlas para reescribir expresiónes logarítmicas. Por ejemplo, expande log₂(3a).
La regla del productologb(MN)=logb(M)+logb(N)\large\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)
La regla del cocientelogb(MN)=logb(M)logb(N)\large\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)
La regla de la potencialogb(Mp)=plogb(M)\large\log_b(M^p)=p\log_b(M)
(Estas propiedades se aplican para cualesquiera valores de MM, NN, y bb para los cuales cada logaritmo esté definido, es decir para MM, N>0N>0 y 0<b10<b\neq1.)

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Debes saber qué son los logaritmos. Si no, por favor revisa nuestra introducción a los logaritmos.

Lo que aprenderás en esta lección

Los logaritmos, como los exponentes, tienen muchas propiedades útiles que sirven para simplificar expresiones logarítmicas y para resolver ecuaciones logarítmicas. Este artículo explora tres de esas propiedades.
Veamos cada propiedad individualmente.

La regla del producto: logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

Esta propiedad dice que el logaritmo de un producto es la suma de los logs de sus factores.
Podemos utilizar la regla del rpoducto para reescribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo 1: expandir logaritmos

Para nuestros propósitos, expandir un logaritmo significa escribirlo como la suma de dos o más logaritmos.
Expandamos log6(5y)\log_6(5y).
Observa que los dos factores en el valor de entrada del logaritmo son 5\blueD 5 y y\greenD y. Podemos aplicar directamente la regla del producto para expandir el log.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)        Regla del producto\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{Regla del producto}}} \end{aligned}

Ejemplo 2: condensar logaritmos

Para nuestros propósitos, comprimir una suma de dos o más logaritmos significa escribirla como un solo logaritmo.
Condensemos log3(10)+log3(x)\log_3(10)+\log_3(x).
Como ambos logaritmos tienen la misma base (base 33), podemos aplicar la regla del producto en sentido inverso:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Regla del producto=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{Regla del producto}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del producto, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.
Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del producto para simplificar algo como log2(8)+log3(y)\log_2(8)+\log_3(y).

Comprueba tu comprensión

La regla del cociente: logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

Esta propiedad dice que el log de un cociente es la diferencia de los logs del dividendo y del divisor.
Ahora utilicemos la regla del cociente para reescribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo 1: expandir logaritmos

Expandamos log7(a2)\log_7\left(\dfrac{a}{2}\right), al escribirlo como la diferencia de dos logaritmos aplicando directamente la regla del cociente.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Regla del cociente\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{Regla del cociente}}} \end{aligned}

Ejemplo 2: condensar logaritmos

Condensemos log4(x3)log4(y)\log_4(x^3)-\log_4(y).
Como ambos logaritmos tienen la misma base (base 44), podemos aplicar la regla del cociente en sentido inverso:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Regla del cociente\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{Regla del cociente}}}\\ \\ \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del cociente, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.
Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del cociente para simplificar algo como log2(8)log3(y)\log_2(8)-\log_3(y).

Comprueba tu comprensión

La regla de la potencia: logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Esta propiedad dice que el log de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
Ahora utilicemos la regla de la potencia para reescribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo 1: expandir logaritmos

Para nuestros propósitos, expandir un solo logaritmo significa escribirlo como un múltiplo de otro logaritmo.
Utilicemos la regla de la potencia para expandir log2(x3)\log_2\left(x^3\right).
log2(x3)=3log2(x)Regla de la potencia=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{Regla de la potencia}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Ejemplo 2: condensar logaritmos

Para nuestros propósitos en esta sección, condensar un múltiplo de un logaritmo significa escribirlo como otro logaritmo solo.
Utilicemos la regla de la potencia para condensar 4log5(2)4\log_5(2),
Cuando condensamos una expresión logarítmica con la regla de la potencia, convertimos los multiplicadores en potencias.
4log5(2)=log5(24)  Regla de la potencia=log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{Regla de la potencia}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problemas de desafío

Para resolver los siguientes problemas tienes que aplicar varias propiedades en cada caso. ¡Inténtalo!
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