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¿Estás estudiando para un examen? Prepárate con estas 5 lecciones sobre Introducción a las secciones cónicas.
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Transcripción del video
Veamos si podemos aprender una o dos cosas acerca de secciones cónicas. Primero, qué son y por qué se llaman secciones cónicas? En realidad, probablemente ya conozcas algunas de ellas y las voy a escribir. Son el círculo, la elipse, la parábola y la hypérbola esa es una p Hypérbola y ya sabes que son cuando aprendi sobre secciones conicas, yo decia, oh yo sé lo que es un círculo yo sé lo que es una parábola y hasta sé un poco acerca de elipses e hypérbolas pero por qué se llaman secciones cónicas? Entonces para hacerlo simple, es porque son la intersección de un plano y un cono Y en un momento lo voy a dibujar pero antes de eso, probablemente tendría mas sentido dibujarlas por separado y voy a cambiar de colores Círculo, todos sabemos lo que es. En realidad déjenme ver si puedo escoger una línea más gruesa para mis círculos Entonces un círculo luce algo así. Son todos los puntos equidistantes de algún centro y a esa distancia es el radio entonces si esto es r y este es el centro, el círculo es todos los puntos que estan exactamente "r" lejos del centro Lo aprendimos antes en nuestra educación Una elipse es como un círculo aplastado Puede ser más o menos así Haré la elipse en otro color Podría ser así o así También pueden estar inclinadas Pero generalmente ésta es la forma Y realmente los círculos son un caso especial de una elipse. Es una elipse que no está estirada en una dimensión más que en la otra Han aprendido sobre parábolas si están tomando Álgebra 2 y probablemente también si les importan las secciones cónicas pero una parábola Dibujaré líneas aquí para separar Una parábola se ve así con forma de U Probablemente estén familiarizados con la ecuación que es y es igual a x al cuadrado Puede estar al revés y se vería así Eso significa x es igual a y al cuadrado También pueden darle vuelta a esto Pero creo que ustedes saben la forma general de una parábola Hablaremos más de cómo se grafica o de cómo saber cuáles son los puntos de una parábola Y la última también la han visto antes es una hipérbola Es casi como dos parábolas pero no exactamente porque las curvas son un poco menos en forma de U. Son más abiertas. Pero ahora les explico a qué me refiero. La hipérbola se ve así estos son los ejes y ahora dibujaré las asíntotas justo a través del centro Éstas sólo son las asíntotas, no la hipérbola. Una hipérbola se vería algo así está cerca de las asíntotas cerca de esas líneas azules la dibujaré de este lado también Otra hipérbola puede ser vertical y se vería así está abajo de las asíntotas y allí, arriba de las asíntotas Entonces la azul sería una hipérbola Y la magenta sería una hipérbola diferente Ésas son las diferentes gráficas De seguro se están preguntando por qué son llamadas "secciones cónicas" y no bolas o variaciones de círculos pero la verdad es que la relación es bastante obvia entre círculos y elipses y talvez hasta parezca que las parábolas y las hipérbolas están relacionadas de alguna forma ambas tienen "bola" en su nombre y tienen forma de U aunque la hipérbola tiene dos y van en distintas direcciones Pero cuál es la relación entre todas? Y allí es de donde la palabra "cónica" proviene Veamos si puedo dibujar un cono tridimensional. Entonces éste es un cono... Esa es la parte de arriba No tiene final acá. Seguiría al infinito en esa dirección. Yo lo estoy partiendo para que vean que es un cono. Ésta sería la parte de abajo... Tomemos intersecciones diferentes de este cono. Veamos si podemos generar las diferentes formas de las que recién hablamos. Entonces tenemos un plano que va directamente por el eje de este cono tridimensional Si tenemos un plano que es exactamente perpendicular a ese eje Un plano tridimensional se vería así... Ésta es la línea del frente despúes tenemos otra línea acá atrás Todos sabemos que estos planos son infinitos Si este plano es perpendicular al eje la intersección de este plano y el cono va a ser así Si estuvieran viéndolo desde arriba Si le diera vuelta así La intersección sería un círculo, pero si tomamos nuestro plano y lo volteáramos un poco entonces tendríamos una situación así... tendría un lado así, y otro así luego los conecto entonces ese es el plano la intersección de este plano, que no es ortogonal ni perpendicular al eje de este cono tridimensional si tomamos la intersección del plano y el cono en los próximos videos no haremos el cono pero sí haremos las ecuaciones que les mostraré luego esta intersección se vería algo así creo que la pueden visualizar ahora sería algo así y si vieran este plano por arriba esto se vería algo así bueno, no me salió tan bien pero sería una elipse, ustedes saben cómo es y si volteara el plano, la elipse se vería aplastada de diferente forma eso puede explicar por qué ambas son secciones cónicas Ahora, algo bien interesante es que si seguimos volteando este plano veamos si puedo hacer esto es buen ejercicio para dibujar en 3D Digamos que se ve algo así quiero que atraviese ese punto... Este es mi plano tridimencional Lo estoy dibujando de una manera en la que sólo toque al cono de abajo la superficie del plano es paralela al lado de este cono de arriba En este caso la intersección del plano y el cono va a estar justo en este punto La intersección se vería algo así... Si lo vieramos desde arriba sería algo así Y allí tienen una parábola es interesante cómo si siguen volteando el plano tienen una elipse, y luego se abre justo cuando está paralelo al cono de arriba mi dibujo no está exacto pero la elipse se abre y se convierte en una parábola así que sí tienen relación La parábola es lo que pasa cuando un lado de la elipse se abre Y si seguimos volteando este plano lo haré en otro color Intersecta ambos lados del cono veamos si puedo dibujarlo... éste es mi nuevo plano se ve así, sé que cuesta verlo ahora entonces las intersecciones de este cono probablemente debería volver a dibujarlo todo pero espero que no se estén confundiendo tanto esta intersección se vería así tocaría al cono de abajo allí y al de arriba acá entonces tendrían algo así ésta sería la intersección del cono de abajo y luego acá arriba estaría la intersección del cono de arriba recuerden que este plano va en toda dirección hacia el infinito Este es un sentido general de lo que son secciones cónicas y por qué se llaman así Díganme si esto se puso confuso porque talvez lo haga de nuevo y lo dibuje mejor o encuentre una aplicación 3D que lo haga mejor que yo pero esta es la razón por la cuál son secciones cónicas y están relacionadas entre sí mismas lo haremos más matematico en los próximos videos pero en el próximo, ahora que ya saben qué son y por qué son llamadas secciones cónicas les enseñaré sobre las fórmulas de esto y cómo reconocerlas cómo se hacen las gráficas de estas secciones cónicas hasta el próximo video