Aprende a multiplicar dos números complejos. Por ejemplo, multiplica (1+2i)⋅(3+i).
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como a+bi\greenD{a}+\blueD{b}i, donde ii es la unidad imaginaria y a\greenD{a} y b\blueD{b} son números reales.
Al multiplicar números complejos conviene recordar que las propiedades que usamos al realizar operaciones aritméticas con números reales funcionan de manera similar para números complejos.
A veces ayuda pensar en ii como una variable, como xx. Así, con unos pocos ajustes al final, podemos multiplicar tal como esperaríamos. Veamos esto con más cuidado mediante algunos ejemplos.

Multiplicar un número real por un número complejo

Ejemplo

Multiplica 4(13+5i)-4 (13+5i). Escribe el resultado en la forma a+bia+bi.

Solución

Si tu instinto te dice que distribuyas 4-4, ¡tu instinto tiene la razón! ¡Hagamos eso!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
¡Y eso es todo! Utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar un número real por uno complejo. Intentemos algo un poco más complicado.

Multiplicar un número imaginario puro por un número complejo

Ejemplo

Multiplica 2i(38i)2i (3-8i). Escribe el resultado en la forma a+bia+bi.

Solución

Nuevamente empecemos por distribuir 2i2i a cada término dentro del paréntesis.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
La respuesta todavía no está en la forma a+bia+bi, pues contiene i2i^2.
Sin embargo, sabemos que i2=1\goldD{i^2=-1}. Sustituyamos para ver que obtenemos.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Con la propiedad conmutativa podemos escribir la respuesta como 16+6i16+6i, y así tenemos que 2i(38i)=16+6i2i (3-8i)=16+6i.

Comprueba tu comprensión

Problema 1

Multiplica 3(2+10i)3(-2+10i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
Para multiplicar los dos números, simplemente distribuye el 33 y simplifica. Como se muestra a continuación.
3(2+10i)=3(2)+(3)(10i)=6+30i\begin{aligned}\tealD{3}(-2+10i)&=\tealD{3}(-2)+\tealD{(3)}(10i)\\ \\ &=-6+30i \end{aligned}

Problema 2

Multiplica 6i(5+7i)-6i(5+7i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
Empecemos por distribuir 6i-6i a cada término dentro del paréntesis.
6i(5+7i)=6i(5)+(6i)(7i)=30i+(42i2)\begin{aligned}\tealD{-6i}(5+7i)&=\tealD{-6i}(5)+(\tealD{-6i})(7i)\\ \\ &=-30i+(-42i^2) \end{aligned}
Como i2=1\goldD{i^2=-1}, esto se convierte en:
6i(5+7i)=30i+(42i2)=30i+(42(1))=30i+42=4230i\begin{aligned}\phantom{\tealD{-6i}(5+7i)} &=-30i+(-42\goldD{i^2})\\ \\ &=-30i+(-42(\goldD{-1}))\\ \\ &=-30i+42\\ \\ &=42-30i \end{aligned}
¡Excelente, ahora estamos listos para ir más lejos! Lo que sigue es el caso más típico que verás cuando se te pida multiplicar números complejos.

Multiplicar dos números complejos

Ejemplo

Multiplica (1+4i)(5+i)(1+4i) (5+i). Escribe el resultado en la forma a+bia+bi.

Solución

En este ejemplo, algunos pueden ayudarse al pensar en ii como una variable.
De hecho el proceso para multiplicar estos dos números complejos ¡es similar al de multiplicar dos binomios! Multiplica cada término en el primer número por cada término en el segundo.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Como i2=1\goldD{i^2=-1}, podemos reemplazar i2i^2 por 1-1 para obtener la forma deseada a+bia+bi.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 3

Multiplica (1+2i)(3+i)(1+2i)(3+i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
Empieza por multiplicar cada término en el primer número por cada término en el segundo.
(1+2i)(3+i)=1(3)+1(i)+2i(3)+2i(i)=3+i+6i+2i2=3+7i+2i2\begin{aligned}(1+2i) (3+i)&={1}(3)+1(i)+{2i}(3)+{2i}(i)\\ \\ &=3+i+6i+2i^2\\ \\ &=3+7i+2i^2 \end{aligned}
Como i2=1\goldD{i^2=-1}, podemos reemplazar i2i^2 por 1-1 para obtener la forma deseada a+bia+bi.
(15i)(6+i)=3+7i+2i2=3+7i+2(1)=3+7i2=1+7i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=3+7i+2\goldD{i^2}\\ \\ &=3+7i+2(\goldD{-1})\\ \\ &=3+7i-2\\ \\ &=1+7i \end{aligned}

Problema 4

Multiplica (4+i)(73i)(4+i)(7-3i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
Empieza por multiplicar cada término en el primer número por cada término en el segundo.
(4+i)(73i)=4(7)+4(3i)+i(7)+i(3i)=2812i+7i+(3i2)=285i3i2\begin{aligned}(4+i) (7-3i)&=4(7)+4(-3i)+{i}(7)+{i}(-3i)\\ \\ &=28-12i+7i+(-3i^2)\\ \\ &=28-5i-3i^2 \end{aligned}
Como i2=1\goldD{i^2=-1}, podemos reemplazar i2i^2 por 1-1 para obtener la forma deseada a+bia+bi.
(15i)(6+i)=285i3i2=285i3(1)=285i+3=315i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=28-5i-3\goldD{i^2}\\ \\ &=28-5i-3(\goldD{-1})\\ \\ &=28-5i+3\\ \\ &=31-5i \end{aligned}

Problema 5

Multiplica (2i)(2+i)(2-i)(2+i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
(2i)(2+i)=2(2)+2(i)+(i)(2)+(i)(i)Multiplica=4+2i2ii2Simplifica=4i2Simplifica=4(1)i2=1=5Simplifica\begin{aligned}(2-i) (2+i)&=2(2)+2(i)+({-i})(2)+({-i})(i)&\small{\gray{\text{Multiplica}}}\\ \\ &=4+2i-2i-i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=4-i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=4-(-1)&\small{\gray{i^2=-1}}\\ \\ &=5&\small{\gray{\text{Simplifica}}} \end{aligned}

Problema 6

Multiplica (1+i)(1+i)(1+i)(1+i).
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
(1+i)(1+i)=1(1)+1(i)+i(1)+i(i)Multiplica=1+i+i+i2Simplifica=1+2i+i2Simplifica=1+2i+(1)i2=1=2iSimplifica\begin{aligned}(1+i)(1+i) &=1(1)+1(i)+i(1)+i(i)&\small{\gray{\text{Multiplica}}}\\ \\ &=1+i+i+i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=1+2i+i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=1+2i+(-1)&\small{\gray{i^2=-1}}\\ \\ &=2i&\small{\gray{\text{Simplifica}}} \end{aligned}

Problemas de desafío

Problema 1

Sean aa y bb números reales. ¿Qué es (abi)(a+bi)(a-bi)(a+bi)?
(abi)(a+bi)=a(a)+a(bi)+(bi)(a)+(bi)(bi)Multiplica=a2+abiabib2i2Simplifica=a2b2i2Simplifica=a2b2(1)i2=1=a2+b2Simplifica\begin{aligned}(a-bi) (a+bi)&=a(a)+a(bi)+({-bi})(a)+({-bi})(bi)&\small{\gray{\text{Multiplica}}}\\ \\ &=a^2+abi-abi-b^2i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=a^2-b^2i^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=a^2-b^2(-1)&\small{\gray{i^2=-1}}\\ \\ &=a^2+b^2&\small{\gray{\text{Simplifica}}} \end{aligned}

Problema 2

Realiza la operación indicada y simplifica. (1+3i)2(2+i) (1+3i)^2\cdot (2+i)
Escribe tu respuesta en la forma a+bia+bi.
(1+3i)2(2+i)(1+3i)^2\cdot (2+i) significa (1+3i)(1+3i)(2+i)(1+3i)(1+3i)(2+i). Para encontrar el producto, multipliquemos los primeros dos números. Luego podemos multiplicar el resultado por (2+i)(2+i).
(1+3i)2(2+i)=(1+3i)(1+3i)(2+i)=(1+3i+3i+9i2)(2+i)=(1+6i+9i2)(2+i)=(1+6i+9(1))(2+i)=(8+6i)(2+i)=168i+12i+6i2=16+4i+6(1)=22+4i\begin{aligned}(1+3i)^2\cdot (2+i)&=\greenD{(1+3i)(1+3i)}(2+i)\\ \\ &=\greenD{\left(1+3i+3i+9i^2\right)}(2+i)\\ \\ &=\greenD{\left(1+6i+9i^2\right)}(2+i)\\ \\ &=\greenD{\left(1+6i+9(-1)\right)}(2+i)\\ \\ &=\greenD{(-8+6i)}(2+i)\\ \\ &=-16-8i+12i+6i^2\\ \\ &=-16+4i+6(-1)\\ \\ &=-22+4i \end{aligned}
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