Introducción a la combinación de funciones

Familiarízate con la idea de que podemos sumar, restar, multiplicar, o dividir dos funciones, para obtener una nueva función.
Así como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números, podemos también sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

La suma de dos funciones

Parte 1: crear una nueva función al sumar dos funciones

Vamos a sumar f(x)=x+1{f(x)=x+1} y g(x)=2x{g(x)=2x} para hacer una nueva función.
Llamemos a esta nueva función, hh. Entonces, tenemos:
h(x)=f(x)+g(x)=3x+1{h(x)}={f(x)}+{g(x)}{=3x+1}

Parte 2: evaluar una función combinada

También podemos evaluar funciones combinadas para valores de entrada particulares. Evaluemos la función hh para x=2x=2. A continuación hay dos maneras de hacer esto.
Método 1: sustituye x=2x=2 en la función combinada hh.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
Método 2: Encuentra f(2)f(2) y g(2)g(2) y suma los resultados.
Ya que h(x)=f(x)+g(x)h(x)=f(x)+g(x), podemos determinar h(2)h(2) al calcular f(2)+g(2)f(2) +g(2).
Primero, encontremos f(2)f(2):
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Ahora encontremos g(2)g(2):
g(x)=2xg(2)=22=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Así que f(2)+g(2)=3+4=7f(2)+g(2)=3+4=\greenD7.
Observa que ambos métodos, sustituir x=2x =2 directamente en la función h h, y calcular f(2)+g(2)f(2) + g(2), ¡nos dan la misma respuesta!

Intentemos ahora algunos problemas de práctica.

En los problemas 1 y 2, sean f(x)=3x+2f(x)=3x+2 y g(x)=x3g(x)=x-3.

Problema 1

Problema 2

Una conexión gráfica

También podemos entender qué significa sumar dos funciones mirando sus gráficas.
Las gráficas de y=m(x)y=m(x) y y=n(x)y=n(x) se muestran abajo. En la primera, observa que m(4)=2m(4)=2; en la segunda, que n(4)=5n(4)=5.
Sea p(x)=m(x)+n(x)p(x)=m(x)+n(x). Mira ahora la gráfica de y=p(x)y=p(x), y observa que p(4)=2+5=7p(4)=\blueD 2+\maroonD 5=\purpleD7.
Observando las tres gráficas, convéncete de que p(x)=m(x)+n(x)p(x) = m(x) + n(x) para cada valor de xx.

¡Practiquemos!

Problema 3

Las gráficas de y=f(x)y=f(x) y y=g(x)y=g(x) se muestran abajo.

Otras maneras de combinar funciones

En todos los ejemplos que hemos estudiado hasta ahora, sumando dos funciones creamos una nueva. Pero, ¡también podemos crear nuevas funciones al restar, multiplicar y dividir dos funciones!
Por ejemplo, si f(x)=x+3f(x)=x+3 y g(x)=x2g(x)=x-2, podemos no solo encontrar la suma, sino también...
...la diferencia.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)       Sustituye.=x+3x+2             Distribuye el signo negativo.=5                                  Combina trminos semejantes.eˊ\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribuye el signo negativo.}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
...el producto.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)            Sustituye.=x22x+3x6        Distribuye.=x2+x6                   Combina trminos semejantes.eˊ\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribuye.}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
...y el cociente.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Sustituye.\begin{aligned}f(x)\div g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye.}}} \end{aligned}
Al hacerlo, ¡hemos creado tres nuevas funciones!

Problema de desafío

p(t)=t+2p(t) = t + 2
q(t)=t1q(t) = t - 1
r(t)=tr(t) = t
Cargando