¿existe otra forma de entender esto mas fácil?

no, el procedimiento explicado estuvo perfecto lo entendí ala perfección

porque en el problema 2 multiplico por 3 mi pregunta es de donde se obtiene esa cantidad?

Se obtiene del número de acres que especifíca en el problema. En el caso del problema dos te solicita averiguar cuanto dinero obtendrá al venderhadas en tres acres por lo cual debes reemplzar "a" por tres en la función.

Contenido principal

Introducción a la composición de funciones

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Aprende porqué queremos componer dos funciones, con un ejemplo de una granja.

Cam es un agricultor. Cada año siembra semillas de maíz. La siguiente función indica la cantidad de maíz,

C

en kilogramos (kg), que él espera cosechar en

a

acres de terreno.

$C (a) = 7500 a - 1500$ ‍

Por ejemplo, si Cam siembra dos acres, él espera cosechar

C (2) = 7500 (2) - 1500 = 13, 500

kg

de maíz.

Pero a Cam le interesa más saber cuánto dinero ganará al vender su maíz. Así que utiliza la siguiente función para predecir la cantidad de dinero,

M

en pesos, que él obtendrá al vender

c

kilogramos de maíz.

$M (c) = 0.9 c - 50$ ‍

Entonces, si Cam cosecha

13,500 kg

de maíz, él espera obtener

M (13,500) = 0.9 (13,500) - 50 = $ 12,100

Observa que Cam utiliza dos funciones separadas para obtener ganancias esperadas a partir de acres cosechados. La primera función,

C

, convierte de acres a cantidad de maíz, mientras que la segunda,

M

, convierte de maíz a cantidad de dinero.

¿No sería genial si Cam pudiera escribir una función que convierta de acres sembrados directamente a ganancias esperadas?

Crear una nueva función

De hecho, ¡sí podemos obtener la función que convierte de acres sembrados directamente a ganacias esperadas! Para determinar esta función, pensemos en la pregunta más general: ¿cuánto dinero puede Cam esperar ganar si siembra maíz en

a

acres de terreno?

Pues bien, si Cam siembra maíz en

a

acres, él espera cosechar

C (a)

kilogramos de maíz. Y si cosecha

C (a)

kilogramos de maíz. espera ganar

M (C (a))

pesos.

Entonces, para determinar la regla general que convierta

a

acres directamente a ganancias esperadas, podemos determinar la expresión

M (C (a))

¿Pero cómo hacer esto? Observemos que en la expresión

M (C (a))

, el valor de entrada de la función

M

C (a)

. Así que para evaluar esta expresión, podemos sustituir

C (a)

como valor de entrada

c

en la función

M

$\begin{aligned} M (c) & = 0.9 c - 50 \\ M (C (a)) & = 0.9 (C (a)) - 50 \\ = 0.9 (7500 a - 1500) - 50 Pues C (a) = 7500 a - 1500 \\ = 6750 a - 1350 - 50 \\ = 6750 a - 1400 \end{aligned}$ ‍

De esta manera la función

M (C (a)) = 6750 a - 1400

convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas. Usemos esta nueva función para predecir la cantidad de dinero que Cam obtendría al sembrar maíz en dos acres.

$M (C (2)) = 6750 (2) - 1400 = $ 12,100$ ‍

Cam puede esperar obtener

$ 12100

al sembrar maíz en dos acres de terreno, ¡lo que es consistente con el primer resultado!

Definir funciones compuestas

Hemos obtenido lo que se conoce como una función compuesta. En lugar de sustituir acres sembrados en la función del maíz, y después la cantidad de maíz cosechado en la función del dinero, obtuvimos una función que convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas.

Hicimos esto al sustituir

C (a)

en la función

M

, o sea al obtener

M (C (a))

. Llamemos

M \circ C

a esta nueva función, que se lee como "

M

compuesta con

C

Ahora sabemos que

(M \circ C) (a) = M (C (a))

. Esta es, de hecho, ¡la definición formal de composición de funciones!

Visualizar los dos métodos

He aquí una ayuda visual para interpretar la definición anterior.

Al utilizar las funciones

C

M

, la función

C

(la del maíz) convierte dos a

13,500

. Después la función

M

(la del dinero) convierte 13,500 a

$

12,100.

Mediante la función compuesta, vemos que

M \circ C

convierte

2

directamente a

$

12,100.

¡Ambas son equivalentes!

Ahora practiquemos con algunos problemas.

Problema 1

Con las funciones del ejemplo, ¿cuánto dinero puede Cam esperar ganar si vende el maíz sembrado en 1.5 acres?

Como referencia: $C (a) = 7500 a - 1500$ ‍, $M (c) = 0.9 c - 50$ ‍, y $M (C (a)) = 6750 a - 1400$ ‍

pesos

Como ya hemos construido la función compuesta que convierte acres cosechados a ganancias esperadas, la podemos utilizar para responder la pregunta.

Sabemos que

M (C (a)) = 6750 a - 1400

. Podemos determinar cuánto puede Cam esperar ganar, si siembra maíz en 1.5 acres, al sustituir 1.5 en lugar de

a

en la fórmula anterior.

$\begin{aligned} M (C (a)) & = 6750 a - 1400 \\ M (C (1.5)) & = 6750 (1.5) - 1400 \\ = 8725 \end{aligned}$ ‍

Cam puede esperar ganar

$

8725 al vender el maíz cosechado en 1.5 acres de terreno.

También pudimos haber utilizado la función

C

para convertir de acres a cantidad de maíz, y después la función

M

para convertír esa cantidad en dinero; sin embargo, como ¡ya teníamos la funcion compuesta, usarla era más eficiente!

Problema 2

Ben es un agricultor de papas. La función

P (a) = 25,000 a - 1000

indica la cantidad de papas,

P

en kilogramos, que él espera cosechar al sembrarlas en

a

acres de terreno; y la función

M (p) = 0.2 p - 200

indica la cantidad de dinero,

M

en pesos, que Ben espera ganar si cosecha

p

kilogramos de papas.

¿Cuánto dinero puede Ben esperar ganar si vende todas las papas cosechadas en tres acres?

Una manera de hacer esto es susituir los acres sembrados en la función de las papas, para determinar la cantidad de papas cosechadas. Después sustituir esto en la función del dinero. Hagamos esto.

Primero evaluemos

P (3)

$\begin{aligned} P (3) & = 25,000 (3) - 1000 \\ = 74,000 \end{aligned}$ ‍

Ahora evaluemos

M (74,000)

$\begin{aligned} M (74,000) & = 0.2 (74,000) - 200 \\ = 14,600 \end{aligned}$ ‍

De manera alternativa, podemos obtener la función compuesta y sustituir tres en esta función Esto se muestra a continuación.

$\begin{aligned} M (P (a)) & = 0.2 (P (a)) - 200 \\ = 0.2 (25,000 a - 1000) - 200 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \\ M (P (3)) & = 5000 (3) - 400 \\ = 14,600 \end{aligned}$ ‍