Comprobar funciones inversas por composición

Aprende cómo verificar que dos funciones son inversas al componerlas. Por ejemplo, ¿f(x)=5x-7 y g(x)=x/5+7 son funciones inversas?
Este artículo se trata de composición de funciones. Si necesitas refrescar detalles sobre este tema, te recomendamos que veas esto antes de leer este artículo.
Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si una función convierte aa en bb, entonces su inversa debe convertir bb en aa.
Tomemos las funciones ff y gg como ejemplo: f(x)=x+13f(x)=\dfrac{x+1}{3} y g(x)=3x1g(x)=3x-1.
Observa que f(5)=2f(5)=2 y g(2)=5g(2)=5.
Para encontrar f(5)f(5), substituye 55 en la función ff.
f(x)=x+13f(5)=5+13=2\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x+1}{3}\\ \\ f(\blueD{5})&=\dfrac{\blueD5+1}{3}\\ \\ &=\goldD2 \end{aligned}
Para encontrar g(2)g(2), substituye 22 en la función gg.
g(x)=3x1g(2)=3(2)1=5\begin{aligned}g(x)&=3x-1\\ \\ g(\goldD{2})&=3(\goldD2)-1\\ \\ &=\blueD5 \end{aligned}
Aquí vemos que al aplicar ff seguida de gg, obtenemos nuevamente el valor de entrada original. Escrito como una composición, esto es g(f(5))=5g(f(5))=5.
Pero, para que dos funciones sean inversas, debemos comprobar que esto ocurre para todo valor de entrada posible, independientemente del orden en que ff y gg se apliquen. Esto da lugar a la regla de composición de inversas.

La regla de composición de inversas

Estas son las condiciones para que dos funciones ff y gg sean inversas:
  • f(g(x))=xf(g(x))=x para todo xx en el dominio de gg
  • g(f(x))=xg(f(x))=x para todo xx en el dominio de ff
Esto es porque si ff y gg son inversas, componer ff y gg (en cualquier orden) crea una función que para cualquier valor de entrada regresa el mismo valor. A esta funcion la llamamos “la función identidad".

Ejemplo 1: las funciones ff y gg son inversas

Usemos la regla de composición de inversas para comprobar que ff y gg dadas antes son de hecho funciones inversas.
Recuerda que f(x)=x+13f(x)=\dfrac{x+1}{3} y g(x)=3x1g(x)=3x-1.
Encontremos f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x)).
f(g(x))f(g(x))g(f(x))\qquad \qquad g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
Vemos que las funciones ff y gg son inversas, pues f(g(x))=xf(g(x))=x y g(f(x))=xg(f(x))=x.

Ejemplo 2: las funciones ff y gg no son inversas

Si f(g(x))f(g(x)) o g(f(x))g(f(x)) no es igual a xx, entonces ff y gg no pueden ser inversas.
Intentemos esto con f(x)=5x7f(x)=5x-7 y g(x)=x5+7g(x)=\dfrac{x}{5}+7.
f(g(x))f(g(x))g(f(x))\qquad g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Así que las funciones ff y gg no son inversas, pues f(g(x))xf(g(x))\neq x y g(f(x))xg(f(x))\neq x.
(Aquí observa que podíamos haber concluido que ff y gg no eran inversas después de mostrar que f(g(x))=x+28f(g(x))=x+28.)

Comprueba tu comprensión

En general, para comprobar que ff y gg son funciones inversas, podemos componerlas. Si el resultado es xx, las funciones son inversas. De otra manera no lo son.

1) f(x)=2x+7f(x)=2x+7 y h(x)=x72h(x)=\dfrac{x-7}{2}

Escribe expresiones simplificadas para f(h(x))f(h(x)) y h(f(x))h(f(x)) en términos de xx.
f(h(x))=f(h(x))=
h(f(x))=h(f(x))=
¿Las funciones ff y hh son inversas?
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Encontremos f(h(x))f(h(x)) y h(f(x))h(f(x)).
f(h(x))f(h(x))h(f(x))\qquad h(f(x))
f(h(x))=2(h(x))+7=2(x72)+7=x7+7=x\begin{aligned} f(\greenD{h(x)})&=2(\greenD{h(x)})+7\\\\&=2\left(\greenD{\dfrac{x-7}{2}}\right)+7\\\\&=x-7+7\\\\&=x\end{aligned}h(f(x))=(f(x))72=2x+772=2x2=x\qquad\begin{aligned} h(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{(\purpleC{f(x)})-7}{2}\\\\&=\dfrac{\purpleC{2x+7}-7}{2}\\\\&=\dfrac{2x}{2}\\\\&=x\\\end{aligned}
Las funciones ff y hh son inversas, pues f(h(x))=xf(h(x))=x y h(f(x))=xh(f(x))=x.

2) f(x)=4x+10f(x)=4x+10 y g(x)=14x10g(x)=\dfrac{1}{4}x-10

Escribe expresiones simplificadas para f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x)) en términos de xx.
f(g(x))=f(g(x))=
g(f(x))=g(f(x))=
¿Las funciones ff y gg son inversas?
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Encontremos f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x)).
f(g(x))f(g(x))g(f(x))\qquad \qquad g(f(x))
f(g(x))=4(g(x))+10=4(14x10)+10=x40+10=x30\begin{aligned}f(\greenD{g(x)})&=4\left(\greenD{g(x)}\right)+10\\\\&=4\left(\greenD{\dfrac14 x-10}\right)+10\\\\&=x-40+10\\\\&=x-30\\\end{aligned}g(f(x))=14(f(x))10=14(4x+10)10=x+2.510=x7.5\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{1}{4}\left(\purpleC{f(x)}\right)-10\\\\&=\dfrac{1}{4}\left(\purpleC{4x+10}\right)-10\\\\&=x+2.5-10\\\\&=x-7.5\\\end{aligned}
Las funciones ff y gg no son inversas, pues f(g(x))g(f(x))xf(g(x))\neq g(f(x))\neq x.

3) f(x)=23x8f(x)=\dfrac{2}{3}x-8 y h(x)=32(x+8)h(x)=\dfrac{3}{2}(x+8)

Escribe expresiones simplificadas para f(h(x))f(h(x)) y h(f(x))h(f(x)) en términos de xx.
f(h(x))=f(h(x))=
h(f(x))=h(f(x))=
¿Las funciones ff y hh son inversas?
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Encontremos f(h(x))f(h(x)) y h(f(x))h(f(x)).
f(h(x))f(h(x))h(f(x))\qquad h(f(x))
f(h(x))=23(h(x))8=23(32(x+8))8=x+88=x\begin{aligned} f(\greenD{h(x)})&=\dfrac23(\greenD{h(x)})-8\\\\&=\dfrac23\left(\greenD{\dfrac32(x+8)}\right)-8\\\\&=x+8-8\\\\&=x\end{aligned}h(f(x))=32(f(x)+8)=32(23x8+8)=32(23x)=x\qquad \begin{aligned} h(\purpleC{f(x)})&=\dfrac32\left(\purpleC{f(x)}+8\right)\\\\&=\dfrac32\left(\purpleC{\dfrac23x-8}+8\right)\\\\&=\dfrac32\left(\dfrac23x\right)\\\\&=x\\\end{aligned}
Las funciones ff y hh son inversas, pues f(h(x))=xf(h(x))=x y h(f(x))=xh(f(x))=x.
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