Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:13:15

Introducción al teorema binomial

Transcripción del video

no nos va a tomar mucho tiempo darnos cuenta de que si tomamos potencias cada vez más altas de un binomio y las desarrollamos se vuelve cada vez más complicado pero bueno vamos a desarrollar algunas cuantas potencias del binomio para que veas qué tan rápido se vuelve enredoso así es que vamos a tomar un binomio este es un binomio porque tiene estos dos términos y bueno vamos a elevar lo primero a la potencia 0 a ver qué pasa allí si tomamos cualquier número distinto de cero y lo elevamos a la potencia cero pues nos queda simplemente uno cierto bueno ahora entonces vamos a tomar nuestro vino mío y lo vamos a elevar la potencia 1 así es que nos queda simplemente a más ve muy bien hasta ahorita no ha sido nada enredoso pero vamos a ver qué pasa con nuestro binomio pero ahora elevado al cuadrado si no has estado practicando eso de elevar binomios al cuadrado entonces seguramente has estado tentado a escribir a cuadrada nash de cuadrada pero no es así eso está muy mal y si hiciste eso te hace sentirte y simplemente pero muy ligeramente arrepentido esto no está bien a más de al cuadrado no esa cuadra damas de cuadrada es simplemente nuestro binomio por otra vez nuestro binomio ley y a la hora de desarrollar esta multiplicación lo que nos queda es aportar a que es cuadrada nada a orbe que es a por de más de hora que pues en realidad se escribe como otra a por de más y finalmente ve por ve que es una de cuadrada ahora estos dos son igualitos entonces nos podemos poner un solo término y nos quedaba a cuadrada nada tenemos dos de estos dos a ve nada se ve cuadrada de cuadrada bueno tampoco estuvo nada complicado zona sin embargo ahora vamos a desarrollar a más p al cubo y te recomiendo que lo pongas pausa y los saques tú solito este binomio al cubo es igual a más elevado a la segunda potencia por otra vez el binomio a más de ypf para hacer esta multiplicación pues vamos a hacerlo de una forma más fácil vamos a poner por aquí a nash de y vamos a hacer esta multiplicación de esta forma que íbamos a poner de verde cuando multipliquemos por esteve y entonces nos queda de orbe cuadrada jueces de cube y que no dé por 2 a de 32 a becada ve ahora cuadrada pues es actuada por b y vamos a escribir con rosa lo que multipliquemos por ésta a ver tenemos aquí una vez cuadrada y la multiplicamos por ahora nos queda a por de cuadrada entonces por aquí a orbe cuadrada +2 sabe por una nos queda dos acordada por psoe y finalmente a cuadrada por a simplemente al cubo y ahora simplemente tenemos que sumar todos estos términos entonces nos quedan legal cubo de al qe2 adecuada más otro de estos adecuada así es que nos quedan tres de adecuada y aquí tenemos pues 3a cuadrada probes no porque tenemos aquí dos a cuadrado apruebe nada más uno de a cuadrado apruebe y eso es 3 a cada ve nada uno por al cubo a cubo y mira apenas a estas alturas pues ya nos tomó una cantidad considerable de tiempo en desarrollar este binomio al cubo y la cosa sólo se va a seguir poniendo cada vez más complicada o sea ahora imagínate desarrollar el binomio a la cuarta potencia y bueno ni siquiera tienen por qué ser nada más a la cuarta potencia ahora imagínate cómo se va a poner la cosa cuando estemos desarrollando el binomio a la décima potencia o a la veinteava potencia aunque sí se pondría algo complicado no y aquí es donde se vuelve súper útil el teorema del vino me haber pero qué es eso del teorema del binomio tenemos que repasar lo el teorema cne el binomio vino y bueno me voy a quedar con la anotación de a y b lo que tenemos es por aquí un binomio que está compuesto de a nada p ha elevado a la potencia en mí y lo que nos dice el teorema del binomio es que elevar este binomio a la enésima potencia es igual a la suma y bueno la anotación y la fórmula se van a ver un poco complicadas al principio pero después lo van a entender mucho mejor cuando veamos un ejemplo concreto el chiste es que es la suma desde que cae es igual a cero hasta que cae es igual la n estã n y está en eso en la misma se ha elevado a la potencia ene - acá por p ha elevado a la ca por un coeficiente que vamos a repasar en unos cuantos segundos que son las combinaciones de n estã n en ca que es el valor que toma esta en este su mando entonces las combinaciones de m en cada a las que también nos referimos cuando estamos hablando acerca de las formas de escoger de un conjunto de elementos cada elemento éstas son un objeto de combinatoria muy utilizada en las matemáticas y es igual a n factorial entre cada factorial por n - acá factorial y bueno entonces vamos ahora a ver ese ejemplo el que estaba hablando con números concretos y por qué no empezamos este ejemplo con ese binomio que nos estaba dando miedo desarrollar o sea con nas de a la 4 a ver esto es igual y ahorita voy a usar tal cual esta anotación esto es igual a la suma desde que acá es igual a cero hasta n que en este caso es un 4 de las combinaciones de cuatro en cada por a a la 4 - queda por p alaca y bueno esto a que es igual pues podemos desarrollar esta suma y lo que nos queda pues éstos suman 2 pero sustituyendo cada una de las casas entre 0 y 4 o sea que aquí vamos a empezar sustituyendo acá igual a cero así es que el primer término son las combinaciones de cuatro en cero por a a la 4 - 0 o sea simplemente a la 44 y ya me voy a quedar con el puro naranja para no estar cambiando tanto de color entonces a la 4 x ve a la cup pero cae 0 entonces aquí sería leal a cero que es no entonces podríamos poner por aquí uno pero es mejor lo dejamos así na na el segundo término de ésta asume que son las combinaciones de cuatro en cada cuándo acá vale 1 cor ad a la 4 - 1 no sé a a la 3a al a3 por ve a la 1 o sea simplemente ve nada este término cuando caes igualados o sea las combinaciones de cuatro en dos por a a la 4 - 2 o sea a al cuadrado a al cuadrado por ver a las dos no sea de al cuadrado nada las combinaciones de cuatro entre por a alá 4 - 3 seã alã uno por de al a3 o sea me al cubo y ahora si finalmente las combinaciones de cuatro en cuatro por a la 4 - cuatro pero eso es simplemente al acero que es uno por de a la 4 no sea simplemente de a la 4 y entonces ya casi terminamos ya lo único que nos falta es encontrar cuánto valen estas cosas de las combinaciones de en en k-1 que ella sí es que pues encontremos las a ver vamos a empezar por éste que son las combinaciones de cuatro en cero y pues tenemos aquí que eso es simplemente 4 factorial que es nuestra n entre cada factorial que es cero factorial por inem y no busca es 4 - 0 factorial y pues 4 - 0 es simplemente un 4 y lo estamos haciendo factorial entonces pues sabemos que el cero factorial es simplemente uno y aquí tenemos cuatro factorial entre 4 factorial eso es simplemente un 1 entonces las combinaciones de cuatro en cero son simplemente un 111 vamos con éste por aquí estamos buscando las combinaciones de 4 en 1 esta fórmula nos dice que las combinaciones de 4 en 1 es en el factor yal que es 4 factorial entre factorial que es uno actor yal por ende menos acá factorial que es 4 - 1 factorial pero 4 - 1 es simplemente un 3 y le tenemos que poner factorial y para simplificar esta fracción hay que recurrir a la naturaleza de los factoriales esto de aquí en 4 factory al es simplemente 4 x 3 x 2 por 1 y este 3 factoría al estrés por dos por uno entonces pues sabe que ahí se van a cancelar algunas cosas no haber van suscribirlo 4 factorial es 4 x 3 x 2 por 1 y aquí tenemos no factorial que es un 1 por tres factoría al que es 3 x 2 por 1 entonces esto se cancela con esto y nos queda simplemente un 4 entonces las combinaciones de 4 en 1 son simplemente un 4 ahora vamos a sacar las combinaciones de cuatro en dos combinaciones de cuatro en dos es igual e n factorial 4 factorial entre cada factorial 2 factory al por y ni menos que sea 4 - 2 que simplemente otro voz factorial y esto es igual a 4 factorial es 4 x 3 x 2 por 1 y 2 factorial es dos por uno pero pues dos por uno es simplemente un 2 entonces de este factor ya tenemos este 2 por este 2 factoría al que es otro 2 y pues éstos 212 se cancelan con este 4 y nos queda simplemente 3 x 2 y 3 por 12-6 entonces las combinaciones de cuatro en dos son iguales a seis ahora sacamos las combinaciones de cuatro en tres a ver esto es igual a 4 factorial entre tres victoria al x 4 - 3 factorial que es un 1 factorial te suena conocido pues qué bueno que si no suena conocido porque mira 4 factorial en t3 factorial por 1 factorial es justo lo que sacamos por aquí ok es igual en las combinaciones de 4 en 1 y eso ya vimos que es igual a 4 entonces las combinaciones de cuatro en tres es igual a un 4 entonces ya nada más tenemos que sacar las combinaciones de cuatro en cuatro combinaciones de cuatro en cuatro que es 4 factorial 4 factorial entre 4 factorial 4 factorial por 4 - 4 que es un cero factorial y otra vez esta cuenta ya la habíamos hecho antes está por aquí lo único que tenemos que hacer es cambiar estos dos factores del lugar y listo ya son iguales así es que ya sabemos cuánto valen las combinaciones de cuatro en cuatro valen 1 las combinaciones de cuatro en cuatro son iguales a uno y tal cual acabamos determina a más ver a la 4 es igual a 1 por a la 4 +4 por al cubo por ve más 6 por al cuadrado b el cuadrado +4 por a o por b al cubo más uno por verla 4 y listo a ver a más de a la 4 es igual a la 4a a la 4 +4 voy a poner los coeficientes con morado 4 por a al cubo por ve más 66 por aquã dorada por b cuadrada +44 por a o por b al cubo más uno por verla 4 o sea b 4 y listo como que quedó muy bonito no muy simétrico hasta hay muchos patrones ahí en medio y todo no o sea empezamos con a la 4 íbamos bajando la potencia aquí tenemos a la tdt es que tenemos a alados aquí esto es a la 1 y bueno aquí no está escrito pero podríamos pensar que tenemos un 1 que a piña al cabo es como un ala 0 y lo mismo con la de os empezamos con b a la a 4 íbamos bajando el exponente de derecha izquierda entonces tenemos b a la a 3 y vea lados y b a la a 1 y luego por aquí tenemos un bebé al acero muy bien es conmigo que también podemos cambiar de lugar y ponerlo por aquí y los coeficientes como que también sigue siendo patrono o sea tenemos por aquí 14 luego el coeficiente del término del medio que es un 6 y luego se repiten del centro hacia la orilla otra vez los coeficientes que aquí tenemos este 4 y aquí tenemos otra vez un 1 y ésta es sólo una aplicación o bueno un ejemplo del teorema del binomio pero hay muchísimos y en los próximos videos vamos a ver varios de estos ejemplos del problema del vino mía y en algún punto vamos a tratar de entender por qué funciona