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Cuadráticas y el Teorema fundamental del Álgebra

CCSS Math: HSN.CN.C.9

Transcripción del video

imaginemos que tenemos una función efe la función fx que estaba dada por un polinomio dedicamos este 5 x al cuadrado más 6 x + 5 este polinomio cuadra tico de aquí y entonces el tema fundamental del álgebra me dice que esté polinomio tiene que tener dos países o dos números x donde la función evaluar en ese número vale 0 2 números x tales y 5 x al cuadrado más 6 x + 5 en ese número x es igual a cero y los invitó a pasar este video y tratar de encontrar esos números asumiré que ya lo hicieron y vamos a atacar el problema así a simple vista a mí al menos no se me ocurre qué números podrían ser o como factorizar este polino me así que voy a utilizar la fórmula cuadrática y que me hice la fórmula cuadrática pues me dice que voy a tratar de usar colores me dice que menos ve dónde ve es este número de aquí el coeficiente de la x que esta elevada la potencia 1 - b 26 más - + - + + - la raíz cuadrada de ve al cuadrado que sería 6 al cuadrado menos cuatro veces menos cuatro veces a donde a este coeficiente de la x a cuadrada a por c c donde se usa este número de aquí todo eso entre dos veces dos veces a 2 x 5 y x igual a este número va a ser precisamente van a ser precisamente las raíces de este polinomio pero bueno cuando van a este número pues este número va a ser que me preservo los colores menos seis más - la raíz cuadrada de cuánto esa cuadra 34 4 por cinco el 20 por cinco es 100 así que sería 34 menos 100 que sería menos 64 menos 64 a 1.000 el número complejo entre 2 x 5 el 10 ahora esto es muy interesante porque aquí este número es negativo o dicho de otro modo dicho de otro modo el número ve al cuadrado menos cuatro hace que normalmente le llaman 'el discriminante de este pool no me cuadra tico es menor que cero por lo tanto voy a tener raíces complejas pero bueno veamos cuánto vale este número pues va a ser menos seis más - la raíz cuadrada de se extienda la definición de la raíz cuadrada hacia los números complejos esto va a ser más menos ocho veces y donde y es la raíz cuadrado de menos un todo dividido entre 10 de modo que las raíces de mi polinomio van a ser x igual a menos seis más -8 y entre 10 que es lo mismo que aquí puedo dividir todo entre 2 y obtener menos tres entre 40 menos tres en 35 más menos 4 en 35 x y ó dicho aún de otro modo x va a ser igual a menos tres quintos más cuatro veces cuatro quintos de iu o x es igual a menos tres quintos menos cuatro quintos de así que en este caso es muy interesante porque tengo estas raíces complejas en el caso en el que éste discriminante fue menor que cero tengo estado raíces complejas y ustedes pueden notar que incluso son con jugadas estos dos números complejos son juzgados lo cual se origina de este más menos en la fórmula cuadrática pero bueno vamos a verificar gráficamente que en realidad éste polinomio no tiene raíces real es el tema fundamental del álgebra ti me dice que tiene que tener dos raíces que un polinomio de grado n tiene que tener en las raíces complejas pero pueden ser reales o pueden ser complejas no importa vamos a verificar gráficamente aunque ya con la calculadora vamos a graficar la gráfica ye igual a 5 x al cuadrado más 6 x + 5 y vamos a cambiar el rango vamos a cambiar el rango x mínimo el mínimo de x en -10 creo que está bien x máximo en 10 la escala de grises también en 1 ahora la aie vamos a poner la aie como esta función crece muy rápido vamos a ponerla en 100 veces en 10 y de hecho vamos a cambiar la escala para que sean cada 10 y vamos a cambiar esto -20 ok entonces veamos la gráfica cómo se ve ahí está la gráfica y como ustedes no tan parece que no corta lg podría ser un poco de zoom de hecho hacer son aquí está un poco complicado mejor vamos a cambiar de nuevo el rango vamos a ponerlo en x igual a 20 hasta 20 y vamos a cambiar la escala a 22 me parece que así estaría bien vamos a ver la gráfica creo que así se va a acercar lo suficiente y si ahí lo pueden ver ustedes la gráfica definitivamente no corta al eje x por lo tanto esta función no tiene ceros reales sus dos raíces son los números complejos que encontramos