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Número de raíces posibles de un polinomio

CCSS Math: HSN.CN.C.9

Transcripción del video

imaginemos que tengo esta función dada por un polinomio de grado 7 claramente esto tiene grado 7 y me pregunto cuál es el número posible de raíces reales de este polinomio así que podría tener por ejemplo no haber raíces reales u 86 reales como siempre los invitó a pasar el video y tratar de descifrar esto por ustedes mismos así que supondrá que ya lo hicieron y vamos a pensar pues el tema fundamental del álgebra me dice que siempre siempre voy a tener siete raíces 7 raíces ahora estas raíces podrían o no ser números reales podrían ser números complejos aunque no fueran números reales pero siempre tengo que tener un total de 7 raíces por lo tanto vamos a pensar vamos a escribir número de raíces países al número de raíces reales y veamos podría tener siete raíces 7 raíces reales pues sí sí gráfico este polinomio podría interceptar al eje real 7 veces no hay ningún problema ahora podría tener 66 reales pues vamos a pensar en qué significa eso para las raíces complejas que no son reales es más mejor vamos a escribirlo así vamos a escribirlo como sigue vamos a pensar en las raíces reales fraser reales por ponerlas aquí y acá vamos a poner las raíces no reales unos reales complejas recuerden todos los números reales son números complejos pero hay números complejos que no son reales por eso escribo no reales complejas y bueno como decía tenemos siete raíces reales si puedo tener siete raíces rurales y entonces cómo tengo que tener siete raíces en tu pal no tendría raíces complejas ahora que hay de 6 raíces reales pues sí tengo seis países reales entonces tengo que tener una raíz compleja porque tengo que tener siete en total pero las raíces complejas no reales siempre vienen padres en parís de números complejos conjugados por lo tanto no puedo tener sólo una tengo que tener siempre un número par de raíces no reales complejas así que en este caso no se puede ya hay de 5 raíces reales si tengo cinco raíces reales entonces tendría dos raíces complejas no reales lo cual es perfectamente posible una pareja de números conjugados y creo que ya bien ya están viendo que se formó un patrol si tuviera cuatro raíces reales entonces tendría tres raíces complejas que no son números reales pero eso no se puede 3 no es un número par así que no puedo tener cuatro países reales que hay de 36 reales pues eso implica que tendrá cuatro raíces complejas no reales y este caso sí se puede sería una pareja de números complejos perdón serían dos parejas de números complejos conjugados que hay de todas las raíces reales eso implicaría 5 raíces complejas no reales lo cual no se puede y qué hay de una raíz real pues si tuviera una raíz federal tendría seis países complejas los reales lo cual sí es posible y finalmente qué pasaría si no tuvieras raíces reales pues tendría siete raíces complejas no reales lo cual no se puede por lo tanto este polinomio de grado 7 con coeficientes reales tiene que tener al menos una raíz real