Analiza polinomios para bosquejar sus gráficas.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

El comportamiento en los extremos de una función ff describe el comportamiento de su gráfica en las "orillas" del eje xx. Algebraicamente, el comportamiento en los extremos se determina con las siguientes dos preguntas:
  • Cuando x+x\rightarrow +\infty, ¿a qué se aproxima f(x)f(x)?
  • Cuando xx\rightarrow -\infty, ¿a qué se aproxima f(x)f(x)?
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo sobre el comportamiento de polinomios en los extremos.
Los ceros de una función ff corresponden a las interseccciones de su gráfica con el eje xx. Si ff tiene un cero de grado impar, su gráfica cruza el eje xx en ese valor de xx. Si ff tiene un cero de grado par, su gráfica toca el eje xx en ese punto.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo de ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección utilizaremos las características anteriores para analizar y bosquejar gráficas de polinomios. Después utilizaremos esas gráficas para determinar los intervalos poitivos y negativos del polinomio.

Analizar funciones polinomiales

Ahora analizaremos varias características de la gráfica del polinomio f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x-2)(x+2)^2.

Encontrar la intersección con el eje yy

Para encontrar la intersección con el eje yy de la gráfica de ff, podemos calcular f(0)f(0).
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
La intersección con el eje yy de la gráfica de y=f(x)y=f(x) es (0,8)(0,-8).

Encontrar intersecciones con el eje xx

Para encontrar las intersecciones con el eje xx, podemos resolver la ecuación f(x)=0f(x)=0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
3x2=0ox+2=0Propiedad del producto por cerox=23ox=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{o}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{o}\qquad x&=-2\end{aligned}
Las intersecciones con el eje yy de la gráfica de y=f(x)y=f(x) son (23,0)\left(\dfrac23,0\right) y (2,0)(-2,0).
Nuestro trabajo también muestra que 23\dfrac 23 es un cero de grado 11, y que 2-2 es un cero de grado 22. Esto significa que la gráfica cruza el eje xx en (23,0)\left (\dfrac 23, 0\right), y toca el eje xx en (2,0)(-2,0).

Encontrar el comportamiento en los extremos

Para encontrar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal cuando la función está escrita en forma estándar.
Escribamos la ecuación en forma estándar
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
El término principal de un polinomio es el primer término, si el polinomio está escrito en forma estándar. En otras palabras, es el término con el mayor grado.
Puesto que únicamente necesitamos saber el término principal (y no el resto del polinomio), podemos determinar esto al encontrar el producto de los términos con las mayores potencias de xx.
Por ejemplo, en f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(\blueD{3x}-2)(\greenD{x}+2)^\greenD{2} podemos multiplicar 3x\blueD{3x} del primer factor por x2\greenD{x^2} del segundo factor. Con esto, obtenemos el término principal 3x3\goldD{3x^3}.
El término principal del polinomio es 3x3\goldD{3x^3}, así que el comportamiento en los extremos de la función ff es el mismo que el comportamiento en los extremos de 3x33x^3.
Puesto que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es: cuando x+x\rightarrow +\infty, f(x)+f(x)\rightarrow +\infty, y cuando xx\rightarrow -\infty, f(x)f(x)\rightarrow -\infty.

Bosquejar una gráfica

Podemos utilizar lo que hemos encontrado para bosquejar la gráfica de y=f(x)y=f(x).
Empecemos con el comportamiento en los extremos:
  • Cuando x+x\rightarrow +\infty, f(x)+f(x)\rightarrow +\infty
  • Cuando xx\rightarrow -\infty, f(x)f(x)\rightarrow -\infty
Esto significa que en las "orillas" la gráfica es parecida a la gráfica de y=x3y=x^3.
Ahora podemos agregar lo que sabemos sobre intersecciones con el eje yy:
  • La gráfica toca el eje xx en (2,0)(-2,0), pues 2-2 es un cero de grado par.
  • La gráfica cruza el eje xx en (23,0)\left(\dfrac23,0\right), pues 23\dfrac23 es un cero de grado impar.
Finalmente, terminemos el proceso al trazar la intersección con el eje yy en (0,8)(0,-8) y llenar los huecos con una curva fluida y continua.
Aunque no sabemos exactamente los puntos donde la gráfica cambia, ¡ya tenemos una buena idea de la forma general de gráfica de la función!

Intervalos positivos y negativos

Ahora que tenemos un bosquejo de la gráfca de ff, es sencillo determinar los intervalos en los cuales ff es positiva, y en los cuales es negativa.
Vemos que ff is positiva cuando x>23x>\dfrac{2}{3}, y negativa cuando x<2x<-2, o 2<x<23-2<x<\dfrac23.

Comprueba tu comprensión

1) Ahora trabajarás por tí mismo en hacer un bosquejo de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x-2)(x+5).
a) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x-2)(x+5) con el eje yy?
(0(0,
))
Para determinar la intersección con el eje yy podemos encontrar g(0)g(0).
g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(0)=(0+1)(02)(0+5)g(x)=(1)(2)(5)g(x)=10\begin{aligned} g(x)&=(x+1)(x-2)(x+5) \\\\ g(\tealD 0)&= (\tealD 0+1)(\tealD0-2)(\tealD0+5)\\ \\ g(x) &= (1)(-2)(5)\\\\ g(x)&=-10 \end{aligned}
La intersección con el eje yy de la gráfica de y=g(x)y=g(x) es (0,10)(0,-10).
b) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de la gráfica de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x-2)(x+5)?
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Para encontrar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal cuando la función está escrita en forma estándar.
Escribamos la ecuación en forma estándar
g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x2+3x10)g(x)=x3+3x210x+x2+3x10g(x)=x3+4x27x10\begin{aligned}g(x)&=(x+1)(x-2)(x+5)\\ \\ g(x)&=(x+1)(x^2+3x-10)\\ \\ g(x)&=x^3+3x^2-10x+x^2+3x-10\\ \\ g(x)&=\goldD{x^3}+4x^2-7x-10 \end{aligned}
El término principal del polinomio es x3\goldD{x^3}, así que el comportamiento en los extremos de la función gg es el mismo que el comportamiento en los extremos de x3x^3.
Puesto que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es: cuando x+x\rightarrow +\infty, g(x)+g(x)\rightarrow +\infty, y cuando xx\rightarrow -\infty, g(x)g(x)\rightarrow -\infty.
c) ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x-2)(x+5) con el eje xx?
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Para encontrar las intersecciones con el eje xx, podemos resolver g(x)=0g(x)=0.
g(x)=(x+1)(x2)(x+5)0=(x+1)(x2)(x+5)\begin{aligned} g(x)&=(x+1)(x-2)(x+5)\\\\ \tealD 0&= (x+1)(x-2)(x+5) \end{aligned}
x+1=0x2=0ox+5=0Propiedad del producto por cerox=1x=2ox=5\begin{aligned} \swarrow &\qquad \downarrow & \searrow\\\\ x+1=0 &\quad x-2=0 & \text{o}\quad & x+5=0 &\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero}}}\\\\ x=-1 &\quad x=2 & \text{o}\quad & x=-5 \end{aligned}
Las intersecciones con el eje xx de la gráfica de y=g(x)y=g(x) son (1,0)\left(-1,0\right), (2,0)(2,0) y (5,0)(-5,0).
d) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)g(x)=(x+1)(x-2)(x+5)?
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Podemos reunir la información anterior para bosquejar la gráfica de y=g(x)y=g(x).
Al trazar la intersección con el eje yy, el comportamiento del polinomio en los extremos, y lo que sabemos de los ceros tenemos que:
Ahora podemos llenar los huecos con una curva fluida y continua para graficar el polinomio.
Esto corresponde a la gráfica AA.
2) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de y=(2x)(x+1)2y=(2-x)(x+1)^2
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Determinemos el comportamiento en los extremos y las intersecciones de y=(2x)(x+1)2y=(2-x)(x+1)^2. Con esto podemos bosquejar la gráfica.

Intersección con el eje yy

Para encontrar la intersección con el eje yy, podemos sustituir xx por 00 y resolver para yy.
y=(2x)(x+1)2y=(20)(0+1)2y=2\begin{aligned}y&=(2-x)(x+1)^2\\\\ y&=(2-0)(0+1)^2\\\\ y&=2 \end{aligned}
La intersección con el eje yy es (0,2)(0,2).

Intersección con el eje xx

Para encontrar la intersección con el eje xx, podemos sustituir yy por 00 y resolver para xx.
y=(2x)(x+1)20=(2x)(x+1)22x=0ox+1=0x=2  ox=1\begin{aligned}y&=(2-x)(x+1)^2\\\\ 0&=(2-x)(x+1)^2\\\\ 2&-x=0 \qquad\text{o} \qquad x+1=0\\\\ x&=2~~\quad\qquad \text{o} \qquad x=-1 \end{aligned}
Puesto que 1-1 es un cero de grado par, la gráfica toca el eje xx en (1,0)(-1,0), y como 22 es un cero de grado impar, la gráfica cruza el eje xx en (2,0)(2,0).

Comportamiento en los extremos

Para determinar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal del polinomio. Si escribimos el polinomio en forma estándar, tenemos:
y=(2x)(x+1)2y=(2x)(x2+2x+1)y=2x2+4x+2x32x2xy=x3+3x+2\begin{aligned}y&=(2-x)(x+1)^2\\\\ y&=(2-x)(x^2+2x+1)\\\\ y&=2x^2+4x+2-x^3-2x^2-x\\\\ y&=\goldD{-x^3}+3x+2 \end{aligned}
Así que en los extremos, la gráfica de y=(2x)(x+1)2y=(2-x)(x+1)^2 es similar a la gráfica de y=x3y=-x^3.
El comportamiento en los extremos es: cuando x+x \rightarrow +\infty, yy \rightarrow -\infty, y cuando xx \rightarrow -\infty, y+y \rightarrow +\infty.

Bosquejar una gráfica

Al combinar todo esto, vemos que la única gráfica posible es DD.
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