Introducción a sumar y restar expresiones racionales

Aprende cómo sumar o restar dos expresiones racionales para obtener una sola expresión racional.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. Por ejemplo, la expresión x+2x+1\dfrac{x+2}{x+1} es una expresión racional.
Si no estás familiarizado con expresiones racionales, puedes revisar nuestra Introducción a las expresiones racionales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a sumar y a restar expresiones racionales.

Sumar y restar expresiones racionales (denominadores comunes)

Fracciones numéricas

Podemos sumar y restar expresiones racionales de manera similar a la suma y resta de fracciones numéricas.
Para sumar o restar dos fracciones numéricas con el mismo denominador, simplemente sumamos o restamos los numeradores, y escribimos el resultado sobre el denominador común.
=4515=415=35\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD4}{\purpleC5}-\dfrac{\blueD1}{\purpleC5}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{4}-\blueD{1}}{\purpleC 5}\\ \\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Expresiones variables

El proceso es el mismo con expresiones racionales:
=7a+3a+2+2a1a+2=(7a+3)+(2a1)a+2Suma=7a+3+2a1a+2Elimina parntesiseˊ=9a+2a+2Combina trminos semejanteseˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{7a+3}}{\purpleC{a+2}}+\dfrac{\blueD{2a-1}}{\purpleC{a+2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{7a+3})+(\blueD{2a-1})}{\purpleC{a+2}}&&\small{\gray{\text{Suma}}}\\ \\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}}&&\small{\gray{\text{Elimina paréntesis}}}\\ \\ &=\dfrac{9a+2}{a+2}&&\small{\gray{\text{Combina términos semejantes}}} \end{aligned}
Dejar los numeradores entre paréntesis es buena práctica, sobre todo cuando se restan expresiones racionales. De esta manera, ¡recordaremos distribuir el signo negativo!
Por ejemplo:
=b+1b24bb2=(b+1)(4b)b2Resta=b+14+bb2Elimina parntesis y distribuyeeˊ=2b3b2Combina trminos semejanteseˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD{b+1}}{\purpleC{b^2}}-\dfrac{\blueD{4-b}}{\purpleC{b^2}}\\\\\\ &=\dfrac{(\blueD{b+1})-(\blueD{4-b})}{\purpleC{b^2}}&&\small{\gray{\text{Resta}}}\\ \\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}}&&\small{\gray{\text{Elimina paréntesis y distribuye}}}\\ \\ &=\dfrac{2b-3}{b^2}&&\small{\gray{\text{Combina términos semejantes}}} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

1) x+5x1+2x3x1=\dfrac{x+5}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x-1}=
=x+5x1+2x3x1=(x+5)+(2x3)x1Suma=x+5+2x3x1Elimina parntesiseˊ=3x+2x1Combina trminos semejanteseˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x+5}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x-1}\\\\\\ &=\dfrac{(x+5)+(2x-3)}{x-1}&&\small{\gray{\text{Suma}}}\\ \\ &=\dfrac{x+5+2x-3}{x-1}&&\small{\gray{\text{Elimina paréntesis}}}\\ \\ &=\dfrac{3x+2}{x-1}&&\small{\gray{\text{Combina términos semejantes}}}\\ \end{aligned}
2) x+12x5x22x=\dfrac{x+1}{2x}-\dfrac{5x-2}{2x}=
=x+12x5x22x=(x+1)(5x2)2xResta=x+15x+22xElimina parntesis y distribuyeeˊ=4x+32xCombina trminos semejanteseˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x+1}{2x}-\dfrac{5x-2}{2x}\\\\\\ &=\dfrac{(x+1)-(5x-2)}{2x}&&\small{\gray{\text{Resta}}}\\ \\ &=\dfrac{x+1-5x+2}{2x}&&\small{\gray{\text{Elimina paréntesis y distribuye}}}\\ \\ &=\dfrac{-4x+3}{2x}&&\small{\gray{\text{Combina términos semejantes}}}\\ \end{aligned}

Sumar y restar expresiones racionales (denominadores diferentes)

Fracciones numéricas

Para entender cómo sumar o restar expresiones racionales con denominadores diferentes, primero examinemos cómo se hace esto con fracciones numéricas.
Por ejemplo, encontremos 23+12\dfrac23+\dfrac12.
=23+12=23(22)+12(33)Crea denominadores comunes=46+36=76\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD3}+\dfrac{1}{\tealD2}\\\\\\ &=\dfrac{2}{\blueD3} \left(\tealD{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealD2}\left( \blueD{\dfrac{3}{3}}\right)&&\small{\gray{\text{Crea denominadores comunes}}}\\ \\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}
Observa que necesitamos el denominador común 66 para sumar las dos fracciones:
  • El denominador de la primera fracción (3)(\blueD 3) requirió un factor 2\tealD 2.
  • El denominador de la segunda fracción (2)(\tealD 2) requirió un factor 3\blueD3.
Cada fracción se multiplicó por un número equivalente a 11.

Expresiones variables

Ahora apliquemos esto en el siguiente ejemplo:
1x3+2x+5\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}
Para que los dos denominadores sean iguales, el primero requiere un factor de x+5\tealD{x+5}, y el segundo un factor de x3\blueD{x-3}. Manipulemos las fracciones para lograr esto. Después podremos sumar de la manera usual.
=1x3+2x+5=1x3(x+5x+5)+2x+5(x3x3)Crea denominadores comunes=1(x+5)(x3)(x+5)+2(x3)(x+5)(x3)=1(x+5)+2(x3)(x3)(x+5)Suma=1x+5+2x6(x3)(x+5)=3x1(x3)(x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}}\\\\\\ &=\dfrac{1}{\blueD{x-3}}{\left(\tealD{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}}{\left(\blueD{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)}&&\small{\gray{\text{Crea denominadores comunes}}}\\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)}&&\small{\gray{\text{Suma}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}
Observa que el primer paso es posible pues x+5x+5\dfrac{x+5}{x+5}, y x3x3\dfrac{x-3}{x-3} son ambas iguales a 11, y ¡multiplicar por 11 no altera el valor de la expresión!
Técnicamente, x3x3=1\dfrac{x-3}{x-3}=1 para x3x\neq 3, y x+5x+5=1\dfrac{x+5}{x+5}=1 para x5x\neq -5.
Sin embargo, para que 1x3+2x+5\dfrac{1}{\blueD{x-3}}+\dfrac{2}{\tealD{x+5}} esté definida, debemos requerir que x3\blueD{x\neq 3} y x5\tealD{x\neq -5}. Por lo tanto, en este ejemplo podemos afirmar que que x3x3=1\dfrac{x-3}{x-3}=1 y x+5x+5=1\dfrac{x+5}{x+5}=1.
En los dos últimos pasos simplificamos el numerador. Aunque se puede multiplicar (x3)(x-3) por (x+5)(x + 5) en el denominador, es usual dejarlo en forma factorizada.

Comprueba tu comprensión

3) 3x+4+2x2=\dfrac{3}{x+4}+\dfrac{2}{x-2}=
Para que los dos denominadores sean iguales, primera fracción requiere un factor de x2x-2, y la segunda un factor de x+4x+4. Manipulemos las fracciones para lograr esto. Después podremos sumar de la manera usual.
=3x+4+2x2=3x+4(x2x2)+2x2(x+4x+4)Crea denominadores comunes=3(x2)(x+4)(x2)+2(x+4)(x2)(x+4)=3(x2)+2(x+4)(x2)(x+4)Suma=3x6+2x+8(x2)(x+4)=5x+2(x2)(x+4)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{x+4}+\dfrac{2}{x-2}\\\\\\ &=\dfrac3{x+4}\left(\dfrac{x-2}{x-2}\right)+\dfrac{2}{x-2}\left(\dfrac{x+4}{x+4}\right)&&\small{\gray{\text{Crea denominadores comunes}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x-2)}{(x+4)(x-2)}+\dfrac{2(x+4)}{(x-2)(x+4)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x-2)+2(x+4)}{(x-2)(x+4)}&&\small{\gray{\text{Suma}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x-6+2x+8}{(x-2)(x+4)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x+2}{(x-2)(x+4)} \end{aligned}
4) 2x15x=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{x}=
Para que los dos denominadores sean iguales, la primera fracción requiere un factor de xx, y la segunda un factor de x1x-1. Manipulemos las fracciones para lograr esto. Después podremos sumar de la manera usual.
=2x15x=2x1(xx)5x(x1x1)Crea denominadores comunes=2xx(x1)5(x1)x(x1)=2x5(x1)x(x1)Resta=2x5x+5x(x1)=3x+5x(x1)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{x}\\\\\\ &=\dfrac2{x-1}\left(\dfrac{x}{x}\right)-\dfrac{5}{x}\left(\dfrac{x-1}{x-1}\right)&&\small{\gray{\text{Crea denominadores comunes}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{2x}{x(x-1)}-\dfrac{5(x-1)}{x(x-1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{2x-5(x-1)}{x(x-1)}&&\small{\gray{\text{Resta}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{2x-5x+5}{x(x-1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{-3x+5}{x(x-1)} \end{aligned}

¿Qué sigue?

Nuestro siguiente artículo contiene ejemplos más difíciles de suma y resta de expresiones racionales.
Aprenderás acerca del mínimo común denominador, y por qué es importante usarlo como denominador común al sumar o restar expresiones racionales.
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