Aprende a obtener el producto de dos expresiones racionales.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. El dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hagan que el denominador sea igual a cero.
Podemos simplificar expresiones racionales al cancelar factores comunes en el numerador y en el denominador.
Si esto no te es familiar, puedes estudiar primero estos artículos:

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a multiplicar expresiones racionales.

Multiplicar fracciones

Para empezar, recordemos cómo multiplicar fracciones numéricas.
Considera este ejemplo:
En conclusión, para multiplicar dos fracciones numéricas: factorizamos, cancelamos factores comunes y multiplicamos por líneas.
Podemos hacer esto porque ¡es como se define la multiplicación!
Para multiplicar dos fracciones, multiplicamos sus numeradores y sus denominadores.
Por ejemplo,
34109=3222533=3252233\begin{aligned}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}&=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3}\\\\ \\&=\dfrac{\greenD3\cdot \blueD2\cdot 5}{\blueD2\cdot 2\cdot \greenD3\cdot 3} \end{aligned}
Ahora vemos que de hecho ¡podemos cancelar el start color blueD, 2, end color blueD y el start color greenD, 3, end color greenD! Estos factores se juntan en una sola fracción mediante el proceso de multiplicación de fracciones.

Ejemplo 1: start fraction, 3, x, start superscript, 2, end superscript, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Podemos multiplicar expresiones racionales de manera similar a la multiplicación de fracciones numéricas.
Recuerda que la fracción original está definida para x, does not equal, 0. El producto simplificado debe tener las mismas restricciones. Por ello, debemos hacer notar que x, does not equal, 0.
Escribimos el producto simplificado como sigue:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction para x, does not equal, 0

Comprueba tu comprensión

1) Multiplica y simplifica el resultado.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, start superscript, 3, end superscript, end fraction, equals
for x, does not equal
  • Tu respuesta debería ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, p, i o 2, slash, 3, space, p, i

Recuerda que la fracción original está definida para x, does not equal, 0. El producto simplificado debe tener las mismas restricciones. Por ello, debemos hacer notar que x, does not equal, 0.
Escribimos el producto simplificado como sigue:
start fraction, x, start superscript, 3, end superscript, divided by, 15, end fraction para x, does not equal, 0

Ejemplo 2: start fraction, x, start superscript, 2, end superscript, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

De nuevo, factorizamos, cancelamos factores comunes y multiplicamos por líneas. Finalmente, nos aseguramos que se observen los valores restringidos.
La expresión original está definida para x, does not equal, minus, 1, comma, 3. El producto simplificado debe tener las mismas restricciones.
En general, el producto de dos expresiones racionales no está definido para cualquier valor que haga que alguna de las expresiones racionales originales no esté definida.
Es importante recordar que la expresión resultante no apareció de la nada. Más bien, ¡es un resultado que creamos al multiplicar dos expresiones racionales!
Si una de estas dos expresiones racionales originales no hubiera estado definida, no podríamos haber encontrado el producto en primer lugar.

Comprueba tu comprensión

2) Multiplica y simplifica el resultado.
start fraction, 5, x, start superscript, 3, end superscript, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 4, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, end fraction, equals
¿Cuáles son todas las restricciones en el dominio de la expresión resultante?
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

El producto está definido para x, does not equal, minus, 2, comma, 0, pues estos valores hacen que las expresiones originales no estén definidas.
3) Multiplica y simplifica el resultado.
start fraction, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 9, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
¿Cuáles son todas las restricciones en el dominio de la expresión resultante?
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

El producto está definido para x, does not equal, minus, 2, comma, 3, comma, 4, pues estos valores hacen que las expresiones originales no estén definidas.

¿Qué sigue?

Si ya estás satisfecho con tus habilidades de multiplicación, puedes continuar con la división de expresiones racionales.