Aprende qué son las expresiones racionales, y acerca de los valores para los cuales están indefinidas.

Lo que aprenderás en esta lección

Esta lección te introduce a las expresiones racionales. Aprenderás cómo determinar si una expresión racional no está definida, y cómo encontrar su dominio.

¿Qué es una expresión racional?

Un polinomio es una expresión que consiste de una suma de términos que contienen potencias enteras de xx, como 3x26x13x^2-6x-1.
Una expresión racional es simplemente un cociente de dos polinomios. En otras palabras, es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios.
Estos son ejemplos de expresión racionales:
1x\dfrac{1}{x}, x+5x24x+4\quad\dfrac{x+5}{x^2-4x+4}, x(x+1)(2x3)x6\quad\dfrac{x(x+1)(2x-3)}{x-6}
Observa que el numerador puede ser una constante, y que los polinomios pueden tener grados variables y formas diversas.

Expresiones racionales y valores no definidos

Considera la expresión racional 2x+3x2\dfrac{2x+3}{x-2}.
Podemos determinar el valor de esta expresión para valores particulares de xx. Por ejemplo, evaluemos la expresión para x=1\blueD{x}=\blueD1.
2(1)+312=  51=5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Así, vemos que el valor de la expresión para x=1\blueD{x}=\blueD{1} es 5\goldD{-5}.
Ahora encontremos el valor de la expresión para x=2\blueD{x}=\blueD{2}.
El valor de entrada 22 hace que el denominador sea 00. Como la divisón entre 00 no está definida, x=2\blueD x=\blueD 2 ¡no es un valor de entrada posible para esta expresión!

Dominio de expresiones racionales

El dominio de cualquier expresión es el conjunto de todos los valores posibles de entrada.
En el caso de expresiones racionales, podemos utilizar cualquier valor de entrada excepto los que hacen que el denominador sea igual a 00 (pues la división entre 00 no está definida).
En otras palabras, el dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.

Ejemplo: encontrar el dominio de x+1(x3)(x+4)\dfrac{x+1}{(x-3)(x+4)}

Encontremos los ceros del denominador para restringir esos valores:
(x3)(x+4)=0x3=0ox+4=0Propiedad del producto por cero.x=3ox=4Despeja .x\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{o} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero.}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{o} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{Despeja $x$.}}}\end{aligned}
Entonces escribimos que el dominio es todos los números reales, excepto 3\textit 3 y -4\textit{-4}, o simplemente x3,4x\neq 3, -4.

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuál es el dominio de x+1x7\dfrac{x+1}{x-7}?
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El dominio de una expresión racional es: todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
Encontremos los ceros del denominador:
x7=0x=7Despeja .x\begin{aligned} &x-7= 0 \\\\ &x = 7 &&\small{\gray{\text{Despeja $x$.}}}\end{aligned}
Como 77 hace 00 al denominador, debemos excluírlo del dominio.
El dominio es todos los números reales, excepto 77, o simplemente x7x\neq7
2) ¿Cuál es el dominio de 3x72x+1\dfrac{3x-7}{2x+1}?
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El dominio de una expresión racional es: todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
Encontremos los ceros del denominador:
2x+1=02x=1Resta  de ambos lados.1x=12Divide ambos lados entre .2\begin{aligned} 2x+1&=0\\\\ 2x& =-1&&\small{\gray{\text{Resta $1$ de ambos lados.}}}\\\\ x&=- \dfrac{1}{2} &&\small{\gray{\text{Divide ambos lados entre $2$.}}}\end{aligned}
Como 12-\dfrac12 hace 00 al denominador, debemos excluírlo del dominio.
El dominio es todos los números reales, excepto 12-\dfrac12, o simplemente x12x\neq-\dfrac12.
3) ¿Cuál es el dominio de 2x3x(x+1)\dfrac{2x-3}{x(x+1)}?
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El dominio de una expresión racional es: todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
Encontremos los ceros del denominador:
x(x+1)=0x=0ox+1=0Propiedad del producto por cero.x=0ox=1Despeja .x\begin{aligned} &x(x+1)= 0 \\\\ &x=0 \quad \text{o} \quad x+1=0 &&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero.}}}\\\\ &x = 0 \quad\text{o} \quad x=-1 &&\small{\gray{\text{Despeja $x$.}}}\end{aligned}
Como los ceros del denominador son 00 y 1-1, el dominio excluye a estos valores.
El dominio es todos los números reales, excepto 00 y 1-1. En otras palabras, x0,1x\neq0, -1.

Problemas de desafío

4*) ¿Cuál es el dominio de x3x22x8\dfrac{x-3}{x^2-2x-8}?
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El dominio de una expresión racional es: todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
En este caso el denominador no está en forma factorizada. Así que debemos factorizarlo, o utilizar otro método para encontrar sus cersos.
Observa que x22x8=0x^2-2x-8=0 puede factorizarse fácilmente. Así que, tenemos:
x22x8=0(x4)(x+2)=0x4=0ox+2=0Propiedad del producto por cero.x=4ox=2Despeja .x\begin{aligned} &x^2-2x-8= 0 \\\\ &(x-4)(x+2)=0\\\\ &x-4=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 &&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero.}}}\\\\ &x = 4 \quad\text{o} \quad x=-2 &&\small{\gray{\text{Despeja $x$.}}}\end{aligned}
Como los ceros del denominador son 2-2 y 44, el dominio excluye a estos valores.
El dominio es todos los números reales, excepto 2-2 y 44. En otras palabras, x2,4x\neq-2, 4.
5*) ¿Cuál es el dominio de x+2x2+4\dfrac{x+2}{x^2+4}?
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El dominio de una expresión racional es: todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
Sin embargo, en este caso el denominador nunca es igual a cero. Esto porque x2+4>0x^2+4>0 para todo número real xx.
Otra manera de razonar esto es intentar igualar el denominador a cero y resolver para xx.
Pero vemos que esto es imposible, pues ¡el cuadrado de cualquier número real nunca puede ser negativo!
Como el denominador no puede ser 00, no hay restricciones en el dominio. Así que el dominio es el conjunto de todos los números reales.
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