Problemas verbales de sucesiones: patrón de crecimiento

nuestra pregunta en esta ocasión es qué ecuación describe el crecimiento del patrón de esta secuencia de bloques y bueno para sacar el patrón de esta secuencia de bloques que es lo que queremos lo que queremos saber cuántos lo que es va a haber en cualquiera de los tiempos por ejemplo si nosotros pensamos que es lo que va a pasar en el tiempo 10 o cuando x vale 10 o cuando nuestro número de términos vale 10 cuantos bloques vamos a tener y bueno para esto lo que se me ocurre hacer primero es una pequeña tablita acerca de los términos y de la cantidad de bloques que tenemos para ver qué es lo que está pasando entonces aquí voy a poner el número de términos y del lado derecho la cantidad de bloques ahora fijémonos en el primer término es decir cuando teníamos el tiempo 1 teníamos un bloque después en el segundo tiempo en el segundo término agregamos una fila de cuatro bloques por lo tanto es casi igual al primer tiempo solamente que le agregamos cuatro bloques y por lo tanto nos dan cinco cuando nosotros tenemos el tercer término pasa exactamente lo mismo es casi lo mismo que el término 2 solamente que le aumentamos una fila de cuatro bloques por lo tanto tenemos cinco más cuatro bloques me van a dar nueve bloques en el término 3 me dan 9 bloques y qué es lo que pasa en el término 4 en el término 4 es exactamente lo mismo que teníamos en el término 3 solamente que le agregamos otra fíjense bien le agregamos otra columna de 4 bloques es lo mismo lo que pinta de amarillo más otra columna de 4 bloques por lo tanto tenemos 13 bloques ahora lo que me encantaría saber es la ecuación que rige este comportamiento es decir si nosotros vemos los bloques o si nosotros vemos estos numeritos cómo saber cuántos lo que vamos a tener cuando x valga no sé vamos a llamar a estos x para que nos confundamos cuando x valga el número que nosotros queramos fíjate bien cuando x valía 1 teníamos 1 que es la condición inicial cuando x valía todos tenemos una hilera o una columna de 4 bloques cuando x vale 3 tenemos dos hileras de cuatro bloques es más aquí cuando x vale 1 podemos decir que tenemos 0 hileras o 0 columnas de 4 cuando x vale 2 tenemos una cuando x vale 3 tenemos dos y cuando x vale 4 tenemos 3 columnas más de 4 bloques por lo tanto lo que queremos saber es cuántas columnas de cuatro bloques vamos a agregar para x igual a lo que sea y date cuenta de algo muy importante por aquí va la idea la idea es agregar columnas de cuatro bloques así que déjenme escribirlo de esta manera para que vayamos entendiendo este problema de una forma mucho más matemática aquí voy a poner la cantidad o el número de bloques que yo tengo y entonces cómo podemos encontrar la ecuación que me describa la cantidad de bloques bueno si te das cuenta todos empiezan con 1 aquí tengo un bloque un bloque un bloque y un bloque por lo tanto es uno más y algo le tenemos que agregar y como estuvimos analizando tiene que ver con la cantidad de columnas de cuatro bloques que agregamos pero si te das cuenta cuando x vale uno tenemos cero cuando equivale dos tenemos uno cuando x vale tres tenemos dos y cuando x vale cuatro tenemos tres esto en matemática se escribe como x menos 1 x 1 la cantidad de columnas que vamos a tener que ir agregando en cada uno de los pasos por ejemplo aquí cuando x vale 2 tenemos una columna por lo tanto es x menos 1 cuando que vale 3 tenemos dos columnas por lo tanto es x menos 1 cuando x vale 4 tenemos tres columnas solamente por lo tanto es x menos 1 y bueno 1 2 3 1 2 1 y en un principio teníamos 0 columnas pero cada una de estas columnas tiene 4 bloques por lo tanto esta es la cantidad de columnas el número de columnas lo voy a escribir aquí y cada una de estas columnas hay que multiplicarla por la cantidad de bloques que en este caso eran 4 entonces tenemos x menos uno por cuatro cuatro bloques cuatro bloques cuatro bloques por todos lados por lo tanto esta es la ecuación que describe la cantidad de bloques que vamos a tener en una cierta x dada y vamos a intentar simplificar un poco esto lo que se me ocurre es multiplicar y distribuir el 44 por x es 4x y 4 x menos 1 me va a dar menos 4 entonces me queda 1 más 4 x menos 4 1 x 4 es menos 4 entonces me queda 14 x 4 y esto lo podemos reducir todavía un poco más el número de bloques como lo calculamos vamos a reducirlo entonces me quedan 14 x menos 41 y el menos 4 se reducen y me queda menos 3 por lo tanto esto es igual a 4 x menos 3 y ya está con eso tenemos una ecuación mucho más sencilla para calcular la cantidad de bloques que podemos tener en una x dada por ejemplos x vale 50 tendríamos 4 x 50 que son 200 200 menos 3 tendríamos 197 bloques en el paso se encuentra tendríamos 197 bloques y esta general porque ya tenemos nuestra fórmula bueno a partir de ahorita quiero ver un método alternativo para resolver este mismo problema porque el crecimiento de este patrón es un crecimiento lineal a estas sucesiones se les conoce como sucesiones aritméticas y bueno qué otra forma podemos pensar para resolver este problema lo que se me ocurre es que como el crecimiento es lineal pensemos en cuánto vale la pendiente la pendiente es un concepto que vamos a utilizar y la pendiente la sacábamos como la cantidad de bloques en este caso la cantidad de bloques que nosotros cambiamos de uno a otro entre la cantidad de x que vamos a cambiar de un valor a otro qué quiere decir esto si nosotros calculamos la pendiente entonces vamos a ver cuánto cambian los bloques a comparación de cuánto es lo que está cambiando la equis esa es la definición de pendiente por lo tanto vamos a hacerlo a ver la cantidad de bloques como cambian delta de los bloques es decir la diferencia que hay entre cinco menos uno entonces vamos a dividir abajo me queda dos menos uno estoy comparando el tiempo 2 con el tiempo 1 y arriba me va a quedar como cambian los bloques 5 menos 1 y por lo tanto vamos a ver 5 menos 1 pues esto es muy sencillo es 42 menos unos 1 y 4 entre 1 es 4 es decir que la pendiente de esta recta o de este cambio lineal es 4 y esto ya lo sospechábamos porque cada vez que nosotros aumentamos en un valor de x nosotros lo que aumenta vamos era una columna de cuatro bloques porque la forma alternativa de resolver este problema es la siguiente yo voy a decir que el número de bloques va a estar dada por una ecuación de una recta porque tiene un comportamiento lineal y una recta se ve como la pendiente que multiplica x es decir 4 que multiplica a x al tiempo dado o al termino dado más una constante mx + ver 4 x + b es la ecuación de una recta tenemos que la pendiente vale 4 ahora lo que habrá que investigar es cuánto vale ven para sacar a b lo único que hay que hacer es agarrar un punto o dicho de otra manera agarrar una equis y una cantidad de bloques por ejemplo en este caso x va a valer 1 b no sabemos cuánto vale y la cantidad de bloques va a valer también 1 porque lo que nosotros ya sabemos es que en el término 1 la cantidad de bloques es 1 1 es igual a 4 más ven y si despejamos de que me queda que menos 4 y menos 4 de los dos lados uno menos 4 me va a dar menos y 4 menos 4 se cancelan entonces de este lado solamente me queda la vez y ya la tengo b vale menos 3 ya con eso calculé cuánto vale 20 b vale menos 3 y ya con esto tengo la ecuación de una recta mx más ven y espero que esto no te haya confundido mucho porque si te confundió puedes utilizar lo que vimos en un principio pero lo que yo te quiero contar es lo siguiente la pendiente la sacamos viendo cuánto cambiaban los bloques de una equis a otra es decir calculamos la pendiente viendo cómo cambiaban los bloques según lo que cambiaba la equis y la vez la b la sacamos utilizando cualquier punto o cualquiera de los valores que tenemos en esta tabla usamos 11 pero podemos haber utilizado cualquiera que se nos había ocurrido 25 3 y 9 lo que sea pero bueno espero que si te haya servido toda esta información y además me gustaría mucho que todo esto te hubiera resultado divertido