Sistemas cuadráticos: una recta y un círculo

cuáles son las soluciones del sistema de ecuaciones de igual a x1 y x cuadrada massieu cuadrada igual a 25 tratemos primero de visualizar el problema para empezar vamos a esbozar la gráfica de estas ecuaciones aquí tenemos nuestro eje y y este de aquí es nuestro eje x la gráfica de esta ecuación de x cuadrada massieu cuadrada igual a 25 corresponde a un círculo con centro en el origen y radio 5 no hay que saber eso para resolver el problema pero ayuda a visualizar aquí tenemos 5 para la y 5 para la x menos 5 para la x y menos 5 para la ye entonces voy a dibujar lo mejor posible la circunferencia la ecuación va a estar representada por este conjunto de puntos o también podríamos decir que este es el conjunto de puntos que cumple con esa ecuación ahora de igual a x + 1 y igual a x 1 es una recta con pendiente uno y con ordenada al origen de uno esto uno dos tres cuatro aquí tenemos la ordenada al origen y con pendiente 1 así es que la recta se va a ver más o menos así cuando buscamos las soluciones estamos buscando los puntos que satisfacen ambas ecuaciones que son los puntos que se encuentran en ambas gráficas lo voy a hacer en verde aquí tenemos uno y aquí tenemos el otro punto ahora como los calculamos la manera más fácil bueno en ocasiones la manera más fácil es sustituir una de las restricciones en la otra restricción como aquí ya está despejada la aie podemos sustituir este valor de y en la ecuación azul vamos a incluir en la ecuación la restricción ya igual a x + 1 entonces esta ecuación queda como x cuadrada más en vez de y vamos a poner la restricción igual a x + 1 esto nos queda entonces como x 1 x 1 elevado al cuadrado y esto tiene que ser igual a 25 hagamos el álgebra ahora para resolver la ecuación para x esto es x cuadrada más ahora desarrollamos este binomio al cuadrado para obtener x cuadrada más 2 x + 1 y esto tiene que ser igual a 25 la ecuación nos queda ahora 2x cuadrada eso es esta suma más 2 x más 1 igual a 25 ahora podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de esta ecuación aunque espera hay que tener cuidado primero hay que igualar la ecuación a cero para aplicar la fórmula cuadrática estamos 25 ambos lados nos queda 2x cuadrada más 2 x menos 24 eso es igual a 0 para simplificar esto podemos dividir a ambos lados entre 2 nos queda el lado izquierdo x cuadrada más x menos 12 y esto es igual a 0 y vemos que no necesitamos usar la fórmula cuadrática podemos factorizar este expresa necesitamos encontrar los números que al multiplicarlos da menos 12 y al sumarlos da 1 bien 4 y 3 son nuestros números mágicos así es que esto lo podemos factorizar como x + 4 por x 3 y esto es igual a cero ahora las soluciones son x es igual a bueno si x + 4 es igual a 0 para que esta expresión sea 0 x tiene que ser igual a menos 4 y la otra solución es x igual a 3 así es que este de aquí es el caso cuando x es igual a menos 4 y esté aquí es el caso cuando x es igual a 3 ya casi hemos terminado nos falta encontrar los valores de guía correspondientes y para eso usemos la ecuación más simple que es igual a x1 así es que cuando x es igual a menos 4 y es igual a menos cuatro más uno menos tres y es igual a menos tres es este punto de aquí este es el punto menos cuatro coma menos tres y de manera análoga cuando x es igual a tres que es igual a 4 este es el punto 3,4 y ahora si estas dos son las soluciones de este sistema de ecuaciones no lineales