Ecuaciones con expresiones racionales

tenemos una ecuación que tiene expresiones racionales así que te invito a que hagas una pausa y trata de descubrir por tu propia cuenta qué valores de x satisfacen la ecuación muy bien hagámoslo todos juntos lo primero que me gustaría ver es si podemos simplificar la expresión quizás no sea factor izando los numeradores y los denominadores y luego ver si hay factores en común aunque bueno no sólo vamos a poder simplificar el lado izquierdo verdad porque el lado derecho ya está más que simplificado entonces veamos qué es lo que puede ocurrir con el numerador entonces podríamos tratar de factorizar esto es decir buscar dos números que multiplicados nos den 21 pero suma 2 menos 10 entonces eso quizás puede ser 3 y 7 pero para que nos dé aquí negativo serían menos 7 y menos 3 entonces esto sería x menos 7 x x menos 3 ahora bien el denominador podríamos factorizar un 3 verdad entonces tendríamos 3 que multiplica a x menos 4 verdad entonces por ejemplo aquí lo que podemos ver es que tenemos un en el denominador tenemos factores x 4 en ambos del lado izquierdo y del lado derecho entonces quizás si nos conviene sustituir esta expresión que teníamos por esta otra que acabamos de descubrir verdad sin embargo aquí por ejemplo en el numerador tendremos x menos 7 y x menos 3 y pues yo creo que convendrá dejarlo simplemente como habíamos iniciado entonces vamos a eliminar esta factorización y bueno vamos a ponerlo como lo teníamos muy bien ahí ahí está y ahora lo que vamos a hacer es multiplicar de ambos lados por x 4 para que se puedan cancelar estos factores entonces multiplicamos por x menos 4 del lado derecho y multiplicamos x - 4 vamos a multiplicar por x 4 también del lado izquierdo entonces qué es lo que pasa del lado izquierdo de este factor se cancela con este otro y del lado derecho estos factores se cancelan verdad entonces ahora podríamos reescribir esta expresión como x cuadrada menos 10 x + 21 y esto va dividido entre 3 que es el único factor aquí que sobrevivió y del lado derecho tendremos simplemente x menos 5 verdad x menos 5 ahora para poder digamos resolver esta ecuación necesitamos por ejemplo quitar este 3 que tenemos en el denominador así que podemos multiplicar la expresión del lado izquierdo por 3 y también multiplicar por 3 del lado derecho para que la igualdad no se altere verdad entonces lo que ocurre del lado izquierdo es que estos se cancelan y lo que nos queda simplemente será x cuadrada menos es x más 21 y del lado derecho tendremos que multiplicar de esta forma abordado usando la propiedad distributiva 3 por x será 3x y 3 x menos 5 es menos 15 muy bien entonces ahora lo que podemos ver es una expresión cuadrática igualada aún a una expresión digamos lineal verdad entonces lo podríamos tratar de llevar todo a nuestra forma estándar verdad es decir pasar todo lo que tenemos del lado derecho del lado izquierdo es decir vamos a restar 3x del lado derecho y también restamos 3x del lado izquierdo y para cancelar este 15 vamos a sumar 15 tanto del lado derecho como del lado izquierdo y que es lo que obtenemos bueno del lado izquierdo vamos a tener x cuadrada - 13 x + 21 y 15 son 36 y esto del lado derecho obtendremos simplemente 0 entonces ya tenemos una ecuación cuadrática digamos en la forma estándar verdad y lo que trataremos de hacer es factorizar este polinomio cuadrática verdad para ver cuáles son las soluciones de esta ecuación entonces pensemos en dos números que multiplicados nos den 36 pero sumados nos den menos 3 entonces podríamos pensar en 4 y 9 pero para que sumados nos dé un número negativo ambos tendrían que ser negativos verdad entonces sería x menos 4 por x menos 9 igual a 0 y ahora tenemos dos números que multiplicados nos dan 0 quiere decir que el primer número es cero es decir x menos 40 o bien x menos 90 en el primer caso tendríamos que x es igual a 4 verdad simplemente sumando 4 de ambos lados y en el segundo caso tendremos que x es igual a 9 sumando 9 de ambos casos entonces estas son nuestras dos posibles soluciones a la ecuación original verdad y si regresamos a la ecuación original teníamos esto acá verdad quizás valdría la pena anotar lo aquí x es igual a 4 x es igual a 9 pero lo que podemos notar es que hay que tener cuidado con la solución de x igual a 4 verdad porque si nosotros tratamos de sustituir en esta ecuación original vamos a tener x menos cuatro verdad este factor de aquí se anula cuando x es igual a 4 pero está en el denominador entonces estaríamos esencialmente dividiendo entre 0 tanto del lado izquierdo como del lado derecho y eso no puede ser verdad tenemos que tener entonces cuidado con esta solución eso quiere decir de hecho que no puede ser válida la solución para esto ecuación así que esta no es válida y por lo tanto la única solución válida sería x igual a 9