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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 4: La regla de cambio de base de logaritmos
Matemáticas
Álgebra 2
Logaritmos
La regla de cambio de base de logaritmos
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Introducción a la regla de cambio de base

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Aprende cómo volver a escribir cualquier logaritmo con logaritmos de una base diferente. !Esto es muy útil para determinar logaritmos en una calculadora!
Supongamos que queremos encontrar el valor de la expresión log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Como 50 no es una potencia racional de 2, es difícil evaluar esto sin una calculadora.
Sin embargo, la mayoría de las calculadoras solo pueden calcular directamente logaritmos en base 10 y base e. Así que, para encontrar el valor de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, primero debemos cambiar la base del logaritmo.

La regla de cambio de base

Podemos cambiar la base de cualquier logaritmo con la siguiente regla:
Observaciones:
  • Al usar esta regla, puedes escoger cambiar el logaritmo a cualquier base start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Como siempre, los valores de entrada de los logaritmos deben ser positivos, y las bases de los logaritmos deben ser positivas y diferentes de 1, ¡para que esta propiedad funcione!

Ejemplo: evaluar log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Si tu meta es encontrar el valor del logaritmo, cambia la base a 10 o e, pues estos logaritmos se pueden calcular en la mayoría de las calculadoras.
Así que cambiemos la base de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis a start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Para hacer esto aplicamos la regla de cambio de base, con b, equals, 2, a, equals, 50, y x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Regla de cambio de base=log⁡(50)log⁡(2)Pueslog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{Regla de cambio de base}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Pues} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Ahora podemos encontrar el valor con una calculadora.
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, point, 644

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Evalúa log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Evalúa log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Evalúa log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, point, 3, right parenthesis.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Justifcar la regla de cambio de base

En este punto, puede ser que estés pensando: "Muy bien, pero ¿por qué funciona esta regla?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
Empecemos con un ejemplo concreto. Utilizando el ejemplo anterior, queremos mostrar que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Utilicemos n para denotar log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. En otras palabras, tenemos log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n. Por la definición de logaritmos, 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50. Ahora podemos aplicar una secuencia de operaciones a ambos lados de la igualdad para que la igualdad se mantenga:
2n=50log⁡(2n)=log⁡(50)Si A=B, entonces log⁡(A)=log⁡(B)nlog⁡(2)=log⁡(50)Regla de la potencian=log⁡(50)log⁡(2)Divide ambos lados entrelog⁡(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log(2^n) &= \log(50)&&{\gray{\text{Si }A=B\text{, entonces }\log(A)=\log(B)}} \\\\ n\log(2)&=\log(50)&&{\gray{\text{Regla de la potencia}}} \\\\ n &= \dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Divide ambos lados entre} \log(2)}} \end{aligned}
Puesto que n estaba definido como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, tenemos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, ¡como queríamos!
Con la misma lógica podemos demostrar la regla de cambio de base. Solamente cambia 2 por b y 50 por a, elige cualquier nueva base x, y ¡ahí está tu demostración!

Problemas de desafío

Problema de desafío 1
Evalúa start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction sin usar una calculadora.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío 2
¿Cuál expresión es equivalente a log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
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