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Evaluar logaritmos: regla de cambio de base

Transcripción del video

usa la fórmula de cambio de base para encontrar el logaritmo envase 5 de 100 y aproximarlo a la milésima más cerca y bueno recuerda que yo te decía que utilizamos bastante la fórmula del cambio de base porque la mayoría de las calculadoras mantenemos el logaritmo envase 5 de hecho en la mayoría de las calculadoras solamente tenemos dos logaritmos el lugar en base 10 que es el log y logaritmo en base en ese lugar y no natural por lo tanto la fórmula del cambio de base me ayuda bastante para que yo pueda expresar cualquier logaritmo en base 10 juan base e iu es la fórmula de cambio de base que es lo que me decía que el hogar y no en base a deben esto lo podemos ver como el logaritmo en base x ojo x es una nueva base la base que tú quieras el logaritmo envase x deben ya esto hay que dividirlo entre logaritmo envase x entre el logaritmo con mi nueva base pero tomándome logaritmo en base xd y déjame ponerlo con los mismos colores para que no te confundas para que todo quede con mucho sentido bueno esto es lo que me dicen fórmula del cambio de base que podemos expresar el logaritmo en cualquier base como una división de logaritmos en una nueva base en una base distinta que por cierto en esta ocasión x puede ser es precisamente lo que queremos proveer un envase de 10 o logaritmo en base e y por cierto seguramente alguna vez has visto lo de x pues sólo quiero recordarte que el ojd dx es lo mismo que el logaritmo envase 10 de x cuando alguien pone el logo de x está asumiendo que el lugar y un base 10 de x y exactamente igual para lograr es natural si te ponen el ndx están asumiendo que ese lugar y no en base de x muy bien lo que nos sirve es el logaritmo envase de 10 por lo tanto podemos escribir aquí el problema el lugar y no en base 5 de 100 y esto lo quiero poner usando la fórmula del cambio de base en un logaritmo con una nueva base que por cierto no vamos a usar la base 10 entonces esto me va a quedar como el logaritmo y dejemos a los mismos colores logaritmo envase días que es mi nueva base debe pero ve en este caso vale 100 ya esto hay que dividirlo entre el lugar mismo envase 10 que es mi nueva base de 5 es decir el logaritmo envase 10 de a el logaritmo más de 10 de 5 y lo bueno es que nos dejan usar calculadora sin embargo para la parte de arriba no necesitamos calculadora el lugar y no en base 10 de 100 es lo mismo que preguntarnos a qué potencia tenemos que eleva al 10 para que nos decían las respuestas dos entonces esto se puede simplificar a dos entre el lugar y no en base 10 de cinco pero lo que no sabemos es el logaritmo envase de 10 de cinco así que para ello vamos a usar la calculadora aquí tengo a mi texas de y 85 y voy a calcular el logaritmo en base 10 de 5 de hecho mejor vamos a calcular una vez dos entre logaritmo en base 10 de cinco pero recuerda que el logaritmo es lo mismo que logró en 2010 por lo tanto dos entre el logaritmo de 5 pues esto es lo mismo que 2.86 1 2.86 13 pero sí lo redondeamos a la milésima más cercana nueva quedar que esto es aproximadamente aproximadamente porque lo estamos redondeando 2.861 y ya están lo cual tiene toda la lógica del mundo porque cinco al cuadrado es 25 y 5 al cubo 125 y 2.861 está más cercano a 3 creados por lo tanto si nosotros elevamos el 5 a la potencia 2.861 o de hechos estamos más exactos tenemos que elevar el 5 a esta potencia que tenemos aquí arriba pero vamos a llevarla a nuestro resultado aproximado a milésimos 2.861 llevamos el 5 a esta potencia me dan 99 puntos 94 31 que esto es muy cercano a 100 y de hecho si quisiéramos que nos dirá si entendemos que elevarlo al resultado con todos los decimales que nos dio la calculadora pero bueno aquí ya tenemos nuestro resultado utilizando el cambio de base pero todavía no te vayas me gustaría enseñarte de dónde sale esta fórmula mágica salen de la nada nunca te has preguntado por qué funciona esta fórmula y bueno para ver esto lo que quiero que veamos primero es logaritmo en base a deben vamos a intentar probar esta fórmula de el cambio de base así que vamos a tomarnos el hogar y no en base a deben y vamos a suponer que esto es igual a otro número voy a tomarme al número sé por qué porque si yo escribo esto en nuestro lenguaje exponencial del cual ya hemos hablado bastante esto lo podemos escribir la siguiente manera como ha elevado a la potencia cm esto es lo mismo que ven recuerda que estas dos expresiones son exactamente iguales déjame ponerlo con el mismo color para que vayamos con mucho cuidado viendo de dónde sale cada una de las cosas ha elevado la ce es igual a ven esta expresión es equivalente a tomarme el hogar y no en base a db igual la cem y bueno qué pasa si ahora yo me tomo logaritmo en base en cualquier otra base o inclusive en base a de ambos lados la igualdad como es una igualdad si me tomo cualquier operación igual de ambos lados de la ecuación de igualdad se conserva más aún si yo me tomó por ejemplo el logaritmo en base no sé vamos a utilizar la base que queremos la base x el logaritmo envase x de la primera parte de esta igualdad de a la cem y después me tomó lugar en envase x de la segunda parte de esta igualdad es decir el hogar envase x debe pues la igualdad se va a seguir conservando porque está aplicando la misma operación a ambos lados de mi igualdad por lo tanto puede decir que lo ganó en base xd a la ce es igual al hogar y no en base x deben y bueno ahora si recordamos una de las propiedades de los logaritmos que hemos visto en estos últimos vídeos una de ellas me dice que las potencias siempre bajan multiplicando el logaritmo es decir que esto es lo mismo que se veces el lugar y no en base xd a lo único que estoy haciendo es bajando la potencia multiplicando a logaritmo por una de las propiedades los logaritmos seis veces el hogar y no en base xd am y esto es igual al lugar y no en base xd ve muy bien y qué pasa si ahora despejó acem vamos a resolver esto para hacer y bueno para esto lo que hace es dividir ambos lados de la ecuación entre logaritmo envase xd am y entonces me quedaría logaritmo envase x deben entre el hogar y no en base xd a lo que estoy haciendo pasándolo en un base xd a del otro lado dividiendo esto por una parte mientras que por la otra parte se es igual al lugar y base a db bueno de hecho espera dejar de escribir todo en los colores originales sé que ya sabes más o menos por dónde va todo este asunto pero los colores originales saber mucho más padre y se va a haber mucho más entendible hace que el logaritmo nuestra nueva base x deben entre el logaritmo envase x que nuestra nueva base de amd lo que estoy haciendo es dividiendo a ambos lados de la ecuación entre el hogar y un base x de amd esto tiene que ser igual a cm pero se es igual al lugar y no en base a debe esto porque fue justo de ahí donde partimos y por lo tanto si se es igual a esto y es igual a esto entonces estas dos cosas son iguales logaritmos base x debe entregar un base x de amd es igual al lugar y no en base a debe lo que es precisamente mi fórmula del cambio de base que es lo que yo quería probar que por cierto en este ejemplo ve valía 100 avalia 5 y x era nuestra base 10