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Evaluar logaritmos: regla de cambio de base

Transcripción del video

usa la fórmula de cambio de base para encontrar el logaritmo en base 5 de 100 y aproximado a la milésima más cercana y bueno recuerda que yo te decía que utilizamos bastante la fórmula del cambio de base porque la mayoría de las calculadoras no tenemos el logaritmo en base a 5 de hecho en la mayoría de las calculadoras solamente tenemos 2 logaritmos el logaritmo en base 10 que es el log y logaritmo en base en que es el logaritmo natural por lo tanto la fórmula del cambio de base me ayuda bastante para que yo pueda expresar cualquier logaritmo en base 10 o en base y en la fórmula de cambio de base que es lo que me decía que el logaritmo en base a de b esto lo podemos ver como el logaritmo en base x ojo x es una nueva base la base que tú quieras el logaritmo en base x de ven ya esto hay que dividirlo entre el logaritmo en base x entre el logaritmo con mi nueva base pero tomando en el logaritmo en base x y déjenme ponerlo con los mismos colores para que no te confundas para que todo quede con mucho sentido bueno esto lo que me dicen fórmula del cambio de base que podemos expresar el logaritmo en cualquier base como una división de logaritmos en una nueva base en una base distinta que por cierto en esta ocasión x puede ser lo es precisamente lo que queremos drogarme en base 10 el logaritmo en base y por cierto seguramente alguna vez has visto el logo de x pues sólo quiero recordarte que el log de x es lo mismo que el logaritmo en base 10 de x cuando alguien pone el log de x está asumiendo que es lugar y un base 10 de x y exactamente igual para lograr y natural si te ponen ln de x están asumiendo que es el logaritmo en base de x muy bien pero lo que nos sirve es el logaritmo en base 10 por lo tanto podemos escribir aquí un problema el logaritmo en base 5 de 100 y esto lo quiero poner usando la fórmula del cambio de base en un logaritmo con una nueva base que por cierto vamos a usar la base 10 entonces esto me va a quedar como el logaritmo y dejemos ser los mismos colores logaritmo en base 10 que es mi nueva base pero en este caso vale 100 ya esto hay que dividirlo entre el logaritmo en base 10 que es mi nueva base de 5 es decir el logaritmo en base 10 de a el logaritmo en base 10 de 5 y lo bueno es que nos dejan usar calculadora sin embargo para la parte de arriba no necesitamos calculadora el logaritmo envase de 10 de 100 es lo mismo que preguntarnos a qué potencia tenemos que elevar el 10 para que nos decían las respuestas 2 entonces esto se puede simplificar a 2 entre el lugar y no en base 10 de 5 pero lo que no sabemos es el logaritmo en base 10 de 5 así que para ello vamos a usar la calculadora aquí tengo a mi texas 685 y voy a calcular el logaritmo en base 10 de 5 de hecho mejor vamos a calcular una vez 2 entre el logaritmo en base 10 de 5 pero recuerda que el logaritmo es lo mismo que logaritmos base de 10 por lo tanto 2 entre el logaritmo de 5 pues esto es lo mismo que 2.86 1 2.86 13 pero si lo redondeamos a la milésima más cercana me va a quedar que esto es aproximadamente aproximadamente porque lo estamos redondeando 2.861 y ya está lo cual tiene toda la lógica del mundo porque 5 al cuadrado es 25 y 5 el cubo 125 y 2.861 está más cercano a 3 que a 2 por lo tanto si nosotros elevamos el 5 a la potencia de 2.861 o de hecho sistemas más exactos tendremos que elevar el 5 a esta potencia que tenemos aquí arriba pero vamos a elevarla a nuestro resultado aproximado a milésimos 2.861 si elevamos el 5 esta potencia me dan 99 puntos 94 31 que esto es muy cercano a 100 y de hecho si quisiéramos que nos diera si entendemos que elevarlo al resultado con todos los decimales que nos dio la calculadora pero bueno aquí ya tenemos nuestro resultado utilizando el cambio de base pero todavía no te vayas me gustaría enseñarte de dónde sale esta fórmula mágica sale de la nada nunca te has preguntado por qué a esta fórmula y bueno para ver esto lo que quiero que veamos primero es logaritmo en base a de b vamos a intentar probar esta fórmula del cambio de base así que vamos a tomarnos el lugar y no en base a debemos y vamos a suponer que esto es igual a otro número voy a tomarme al número ser porque porque si yo escribo esto en nuestro lenguaje exponencial del cual ya hemos hablado bastante esto lo podemos escribir la siguiente manera como ha elevado a la potencia cm esto es lo mismo que vemos recuerda que estas dos expresiones son exactamente iguales déjenme ponerlo con el mismo color para que vayamos con mucho cuidado viendo de dónde sale cada una de las cosas ha elevado a la c es igual a b esta expresión es equivalente a tomármelo garino en base a dv igual a c y bueno qué pasa si ahora yo me tomo el logaritmo en base en cualquier otra base o inclusive en base a de ambos lados de la igualdad como es una igualdad si me tomo cualquier operación igual de ambos lados de la ecuación de igualdad se conserva más aún si yo me tomo por ejemplo el logaritmo base no sé vamos a utilizar la base que queremos la base x el logaritmo en base x de la primera parte de esta igualdad de a laxe y después me tomo el logaritmo en base x de la segunda parte de esta igualdad es decir el logaritmo en base x debe pues la igualdad se va a seguir conservando porque estoy aplicando la misma operación a ambos lados de mi igualdad por lo tanto puedo decir que lo gano en base x de al ac es igual al hogar y bombas x debe y bueno ahora si recordamos una de las propiedades de los logaritmos que hemos visto en estos últimos vídeos una de ellas me dice que las potencias siempre bajan multiplicando el logaritmo es decir que esto es lo mismo que se veces el logaritmo envase x de a lo único que estoy haciendo es bajando la potencia multiplicando el logaritmo por una de las propiedades de los logaritmos sé a veces el logaritmo en base x de amd y esto es igual al logaritmo en base x debe muy bien y qué pasa si ahora despejo hacen vamos a resolver esto para hacer y bueno para esto lo que voy a hacer es dividir ambos lados de la ecuación entre el logaritmo en base x de amd y entonces me quedaría el logaritmo en base x de b entre el logaritmo en base x de am lo que estoy haciendo es pasando lograr en un base x de am del otro lado dividiendo esto por una parte mientras que por la otra parte c es igual el logaritmo en base a debe bueno de hecho espera déjame escribir todo en los colores originales sé que ya sabes más o menos por dónde va todo este asunto pero los colores originales sabe ver mucho más padre y se va a ver mucho más entendible así que el logaritmo en nuestra nueva base x debe entre el logaritmo en base x en nuestra nueva base de amd lo que estoy haciendo es dividiendo ambos lados de la ecuación entre el logaritmo en base x de amd esto tiene que ser igual a 100 pero se es igual al lugar en un base debe esto porque fue justo de ahí donde partimos y por lo tanto si se es igual a esto y es igual a esto entonces estas dos cosas son iguales logaritmo en base x debe entre el hogar en base x de amd es igual de logaritmo base adb lo que es precisamente mi fórmula del cambio de base que es lo que yo quería probar que por cierto en este ejemplo me valía 100 a valía 5 x era nuestra base 10