Prueba de la regla de cambio de base

de lo que quiero hablar en este vídeo es de la fórmula de cambio de base del logaritmo y está lo que nos dice es que si tenemos un logaritmo base a de x que eso es igual a el logaritmo base de de x entre el logaritmo base b de a para cualquier base del logaritmo que se nos ocurra y este es un resultado muy útil para muchísimas cosas pero bueno una de las cosas para las que es útil es por ejemplo si tu calculadora solo puede calcular logaritmos base de 10 o logaritmos base y necesitas calcular por ejemplo el logaritmo base 3 de 25 entonces esta fórmula te da la forma para calcularlo y bueno lo primero que tienes que hacer es si tu calculadora puede calcular logaritmo base de 10 y logaritmo base pues escoges alguno de los dos entonces con él me dicen escogen el 10 o l ok bueno vamos a empezar con el 10 y creo que es el único que vamos a hacer pero el 10 es suficiente porque es para cualquier base de entonces logaritmo base 3 de 25 según esta fórmula es igual a logaritmo base de 10 de 25 entre logaritmo a base 10 de 3 y ahora si con esto la calculadora ya nos puede decir cuánto vale esto bueno ya que vimos una de las cosas para las que esta fórmula es útil pues vamos a probarla no vamos a empezar por el logaritmo base a de x llamarle ya para que la demostración sea mucho más sencilla ok entonces tenemos que es igual logaritmo base de x ahora qué es lo que significa que el logaritmo base de x sea igual ayer pues ustedes que ya conocen todas las propiedades del logaritmo me van a decir muy rápidamente que esto lo que significa es que a a la ye es igual a y bueno resulta que voy a necesitar este espacio por lo cual voy a poner la x hasta por acá entonces tenemos esta igualdad que sale de esta igualdad pero entonces definimos la variable y como logaritmo base a de x y eso tal cual lo que significa es que ha elevado a la i es igual a equis y dada esta igualdad lo que vamos a hacer es sacar el logaritmo base de los dos lados entonces logaritmo base de d tiene que ser igual a logaritmo base b de equis y ahora lo que tenemos que hacer es recordar todas esas propiedades del logaritmo y bueno ustedes díganme esto que es igual como podemos simplificar esta expresión en algún vídeo donde explicamos las propiedades del logaritmo vimos que si estamos evaluando el logaritmo en una expresión que está elevada a alguna potencia entonces la potencia podría salir del logaritmo o sea lo que vimos es que esto es igual a g por el logaritmo base de d si pueden consultar la igualdad de aquí para acá en algún otro de los vídeos que están en la página de khan academy entonces este es exactamente igual a este que a su vez es igual a este entonces podemos bajar esta igualdad y ahora pues miren ya tenemos bastantes cosas no o sea tenemos logaritmo base de de x que está aquí logaritmo base de a que es justo lo que queremos aquí y ya que es el logaritmo base de x o sea lo único que necesitamos hacer es despejar la ok y para hacer eso lo único que tenemos que hacer es dividir de los dos lados entre el logaritmo base b de a y dejamos la ye solita y entonces como estamos dividiendo entre los dos lados de la igualdad por la misma expresión entonces el preservar la igualdad y ahora fíjate que aquí logaritmo base de a entre el logaritmo base de a pues todo esto en realidad es un 1 esto es igual a esto es igual por uno pero a su vez ya es igual a el logaritmo base a de x entonces acabamos de terminar de demostrar la fórmula de cambio de base del logaritmo que iba a ser muy útil para cuando queramos calcular las derivadas por ejemplo