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Usar la regla de cambio de base de logaritmos

Transcripción del video

aquí tenemos dos expresiones logarítmicas distintas una en color amarillo y otra en color morado y lo que quiero que hagas como siempre es pause del vídeo y ver si puedes reescribir estas dos expresiones logarítmicas de una manera más sencilla y te voy a dar una pista en caso de que todavía no hayas empezado la pista es si eres capaz de cambiar la base de los logaritmos o de las expresiones logarítmicas podrás ser capaz de simplificar esto muy bien y te voy a dar una pista más espero que todavía no hayas empezado cuando hablo del cambio de base me refiero a que si tengo cosas como como la siguiente logaritmo logaritmo en base se me ocurre en base a de no sé no voy a tomar el logaritmo en base de b esto es exactamente lo mismo que tomarme el logaritmo en base b el logaritmo en base b entre el lugar y tmo en base am el logaritmo en base a y bueno seguramente en este momento me puedes decir oye pero en qué base está en estos logaritmos y es que esto es independiente de la base que tú elijas siempre y cuando elijas la misma base puede ser no sé logaritmo en base 9 debe y logaritmo en base de 9 de amd o lo que tú quieras casi siempre la gente ocupa el logaritmo en base 10 déjame ponerlo con este color el logaritmo en base 10 porque es la base más usada y bueno esto se debe a que la mayoría de las personas tienen calculadoras que resuelven este tipo de logaritmos o al menos tienen tablas de logaritmos de base 10 entonces aquí estás diciendo que el exponente al que tengo que elevar a para que me dé d es exactamente igual al exponente al que tengo que llevar 10 para que me debe entre el exponente al que tengo que llevar 10 para que me dé y esto es algo muy útil y que es muy importante saber cuando quieres usar un cambio de base en los logaritmos y esto nos va a servir bastante para resolver este ejercicio esta fórmula ya la probamos en algún otro vídeo y es momento de aplicarla entonces regresando a esta expresión de amarillo puedes ver esto exactamente esto mismo como 11 entre entre el logaritmo en base de de 4 y bueno estas dos expresiones son las mismas pero ahora ya podemos utilizar el cambio de base justo aquí podemos escribir esto de la siguiente manera como uno entre el logaritmo de 4 sobre el logaritmo de b y bueno es el logaritmo en base 10 porque no escribí la base y estamos asumiendo que estamos en base 10 ahora sí divido un número entre una expresión racional puedes recordar que esto es exactamente lo mismo que multiplicar por el recíproco de esta expresión entonces esto me va a quedar como 1 déjame ponerlo aquí como 1 que multiplica al recíproco de esto al logaritmo de b entre el logaritmo de 4 y bueno si multiplicamos por 1 esto es exactamente lo mismo que el logaritmo de b entre el logaritmo de 4 esto está muy sencillo simplemente multiplique por 1 pero es momento de irnos en la otra dirección usando de nuevo esta pequeña de la que tengo aquí porque esto va a ser esa lo mismo que el logaritmo en base 4 y en esta ocasión de b y ya está llegamos a una expresión muy sencilla y muy limpia de esta que tenía aquí uno entre el logaritmo en base b de 4 es lo mismo que el logaritmo en base 4 de b y observa lo importante es que estamos hablando para una base cualquiera estamos tomando una b general entonces si tomó el recíproco de una expresión logarítmica esencialmente va a ser lo mismo que un intercambio de bases aquí tengo un exponente al que tengo que elevar p para obtener 4 y aquí tengo un exponente al que tengo que llevar 4 para obtener b y bueno tal vez esto se ve un poco mágico hasta que pones unos números tangibles por aquí esencialmente con exponentes fraccionarios y así esto empieza a tomar más sentido por ejemplo sabemos que 4 elevado al cubo es lo mismo que sé 4 estás de acuerdo dicho de otra manera el logaritmo en base 4 de 64 esto es lo mismo que 3 de lujo y si dijera me quiero tomar el logaritmo en base 64 de 4 cuánto es esto bueno con esta nueva expresión que acabo de encontrar tendremos que elevar al 64 a la potencia un tercio para llegar a 4 entonces nota que son recíprocos de hecho tal vez no sean tan mágicos después de todo pero es padre ver cómo todo esto funciona muy bien ahora vayamos al siguiente y bueno qué te parece si también utilizamos este cambio de base así que que me va a quedar bueno me va a quedar que el logaritmo 16 esto dividido entre el logaritmo el logaritmo de c y bueno ojo de nuevo recuerda que estoy usando logaritmo en base 10 escribiré cada una de estas expresiones con un logaritmo base de 10 y esto va a multiplicar a quien bueno va a multiplicar a dejen usar este color a logaritmo en base 10 recuerda de ser esto dividido entre dejen de utilizar este otro color entre el logaritmo en base 10 de 2 una vez más recuerda que no estoy poniendo la base porque estamos hablando de base 10 bueno la puedo poner aquí si te sientes un poco más cómodo base 10 base 10 base 10 base 10 es lo mismo ahora bien observa que por aquí tengo un logaritmo en base 10 desee multiplicando y por aquí un logaritmo en base de 10 12 por lo tanto estos dos se pueden ir se cancelan y simple y sencillamente me quedaré con logaritmo en base 10 de 16 entre el logaritmo en base 10 el logaritmo en base 10 dedos y bueno ahora podemos irnos en dirección contraria de nuevo porque esto va a ser igual a el logaritmo el logaritmo en base 2 en base 2 dejen usar su respectivo color en base 2 de 16 y ojo todavía no acabamos porque esto lo podemos resolver aquí potencia tengo que elevar el 2 para obtener 16 bueno eso lo sabemos la potencia la que tengo que elevar dos para que me dé 16 es estás de acuerdo y observa que aquí empezamos con una variable ce y en un principio parecía que vamos a lidiar con cosas muy abstractas pero de hecho puedes evaluar toda esta loca expresión simplemente al valor de 4 si tuviéramos una competencia matemática oral y matemático esta sería una muy buena pregunta para poder obtener el premio porque tú sabes pasar por todos estos pasos estaría muy padre para obtener finalmente el valor de 4