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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 5: Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos
Matemáticas
Álgebra 2
Logaritmos
Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos
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Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos

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Aprende cómo resolver cualquier ecuación exponencial de la forma a⋅b^(cx)=d. Por ejemplo, resuelve 6⋅10^(2x)=48.
¡La clave para resolver ecuaciones exponenciales son los logaritmos! Veámoslo con más detalle por medio de algunos ejemplos.

Resolver ecuaciones exponenciales de la forma a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Resolvamos 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
Para resolver para x primero debemos aislar la parte del exponente. Para hacer esto, dividimos ambos lados por 5. No multiplicamos el 5 por el 2, pues ¡este no es el orden correcto de las operaciones!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Ahora podemos resolver para x si convertimos la ecuación a forma logarítmica.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 es equivalente a log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
¡Y así de simple hemos resuelto la ecuación! La solución exacta es x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Como 48 no es una potencia racional de 2, debemos usar la regla de cambio de base y nuestra calculadora para evaluar el logaritmo. Esto se muestra a continuación.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)Regla de cambio de base≈5.585Evaluˊa con calculadora\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Regla de cambio de base}}} \\\\ &\approx 5.585 &&{\gray{\text{Evalúa con calculadora}}} \end{aligned}
La solución aproximada, redondeada a la milésima más cercana, es x, approximately equals, 5, point, 585.

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuál es la solución de 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Escoge 1 respuesta:

2) Resuelve 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
t, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Resuelve 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
y, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Resolver ecuaciones exponenciales de la forma a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Veamos otro ejemplo. Resolvamos 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48
Nuevamente empezamos por aislar el exponente y dividimos ambos lados entre 6.
6⋅102x=48102x=8\begin{aligned} 6\cdot 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
A continuación, aislamos el exponente convirtiendo a forma logarítmica.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
Finalmente podemos dividir ambos lados entre 2, y así despejamos x.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Esta es la respuesta exacta. Para aproximar la respuesta a la milésima más cercana, podemos ingresar esto en una calculadora. Observa que no hay necesidad de cambiar la base, pues ya es base 10.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0.452Evaluˊa con calculadora\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0.452 &&{\gray{\text{Evalúa con calculadora}}}\end{aligned}

Comprueba tu comprensión

4) ¿Cuál de las siguientes es la solución de 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Escoge 1 respuesta:

5) Resuelve 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Resuelve minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, point, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.
z, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío

¿Cuáles de las siguientes son soluciones de left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Elige todas las respuestas adecuadas:

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