If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Introducción a logaritmos

Aprende qué son los logaritmos y cómo evaluarlos. 

Temas con los que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Deberías estar familiarizado con los exponentes, de preferencia también con los exponentes negativos.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás qué son los logaritmos, y evaluarás algunos logaritmos básicos. Esto te preparará para el trabajo futuro con expresiones y funciones logarítmicas.

¿Qué es un logaritmo?

Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.
Por ejemplo, sabemos que start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a la start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, a, end text, end superscript potencia es igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Esto se expresa con la ecuación exponencial start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Ahora supongamos que nos preguntan: "¿start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a qué potencia es igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" La respuesta sería: start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Esto se expresa con la ecuación logarítmica log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, y start color #e07d10, 16, end color #e07d10; donde start color #11accd, 2, end color #11accd es la base y start color #0d923f, 4, end color #0d923f es el exponente.
La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia start color #e07d10, 16, end color #e07d10, y la forma logarítmica aísla el exponente start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.
Forma logarítmicaForma exponencial
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definición de un logaritmo

Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd, y start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd es la start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f es el start color #0d923f, start text, e, x, p, o, n, e, n, t, e, end text, end color #0d923f, y
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 es el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, d, e, space, e, n, t, r, a, d, a, end text, end color #e07d10.

Una observación útil

Al volver a escribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente.

Comprueba tu comprensión

En los siguientes problemas convertirás entre formas exponenciales y logarítmicas de ecuaciones.
Problema 1
¿Cuál de las siguientes es equivalente a 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
¿Cuál de las siguientes es equivalente a 5, cubed, equals, 125?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Problema 3
Escribe log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 en forma exponencial.

Problema 4
4) Escribe log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 en forma exponencial.

Evaluar logaritmos

¡Excelente! Ahora que ya entendemos la relación en tre exponentes y logaritmos, veamos si podemos evaluar logaritmos.
Por ejemplo, evaluemos log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Empecemos por igualar esa expresión a x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Al escribir esto como una ecuación exponencial, obtenemos:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
¿4 elevado a qué potencia es 64? Pues bien, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, así que log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Con la práctica podrás condensar algunos de estos pasos, y evaluar log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis simplemente preguntando "¿4 elevado a qué potencia es 64?"

Comprueba tu comprensión

Recuerda que para evaluar log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, puedes preguntar: "¿start color #11accd, b, end color #11accd elevado a qué potencia es start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Problema 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Restricciones en las variables

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis está definido cuando la base b es positiva y diferente de 1, y el argumento o valor de entrada a es positivo. Estas restricciones son resultado de la conexión entre logaritmos y exponentes:
RestricciónRazonamiento
b, is greater than, 0En una función exponencial la base b debe ser positiva, por definición.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como un número positivo elevado a cualquier potencia es positivo, o sea b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, tenemos que a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Supongamos por un momento que b pudiera ser 1. Consideremos ahora la ecuación log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. La forma exponencial equivalente sería 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Pero esto nunca puede ser verdadero, pues 1 elevado a cualquier potencia es siempre 1. Así, tenemos que b, does not equal, 1.

Logaritmos especiales

Aunque la base de un logaritmo puede ser una de muchos valores, hay dos bases que se utilizan más que las demás.
Específicamente, la mayoría de las calculadoras tienen botones para estos dos tipos de logaritmos. Veamos cuáles.

El logaritmo común

El logaritmo común es un logaritmo cuya base es 10 ("logaritmo base 10").
Al escribir estos logaritmos matemáticamente omitimos la base. Se entiende que es 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

El logaritmo natural

El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es e ("logaritmo base e").
En lugar de escribir la base e, indicamos este logaritmo como natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Esta tabla resume lo que necesitamos saber acerca de estos dos logaritmos especiales:
NombreBaseNotación usualNotación especial
Logaritmo común10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Logaritmo naturalelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Aunque la notación es diferente, ¡la idea para evaluar un logaritmo es exactamente la misma!

¿Para qué estudiamos logaritmos?

Como acabas de aprender, los logaritmos revierten los exponentes. Por esta razón son muy útiles para resolver ecuaciones exponenciales.
Por ejemplo, el resultado de 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 puede darse como un logaritmo: x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. En las siguientes lecciones aprenderás a evaluar esta expresión logarítmica.
Las expresiones y funciones logarítmicas también resultan ser muy interesantes por sí mismas, y son muy comunes en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, muchos fenómenos físicos se miden con escalas logarítmicas.

¿Qué sigue?

Aprende sobre las propiedades de logaritmos que nos ayudan a volver a escribir expresiones logarítmicas, y sobre la regla del cambio de base, que nos permite evaluar cualquier logaritmo con una calculadora.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.