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Álgebra 2
Curso: Álgebra 2 > Unidad 8
Lección 3: Propiedades de los logaritmos- Introducción a propiedades de logaritmos (1 de 2)
- Introducción a propiedades de logaritmos (2 de 2)
- Introducción a propiedades de logaritmos
- Usar la regla del producto en logaritmos
- Usar la regla de potencias en logaritmos
- Usa las propiedades de los logaritmos
- Usar las propiedades de logaritmos: varios pasos
- Prueba de la regla del producto en logaritmos
- Prueba de las reglas del cociente y de la potencia en logaritmos
- Justificar las propiedades de los logaritmos
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Justificar las propiedades de los logaritmos
Estudia las demostraciones de las propiedades de logaritmos: las reglas del producto, del cociente, y de potencias.
En esta lección demostraremos tres propiedades de los logaritmos: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Antes de empezar, recordemos un hecho útil, que nos ayudará en el camino.
En otras palabras, un logaritmo base b ¡invierte el efecto de la potencia con base b!
Ten esto en mente mientras lees las demostraciones que siguen.
La regla del producto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Empecemos demostrando un caso específico de la regla: el caso en el que M, equals, 4, N, equals, 8, b, equals, 2.
Al sustituir estos valores en log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, vemos que:
Así, tenemos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Aunque esto solamente verifica un caso, podemos utilizar la misma lógica para demostrar la regla del producto en general.
Observa que escribir 4 y 8 como potencias de 2 fue la clave de la demostración. Así que, en general, queremos que M y N sean potencias de base b. Para hacer esto, hagamos que M, equals, b, start superscript, x, end superscript y N, equals, b, start superscript, y, end superscript para algunos números reales x y y.
Entonces, por definición, también es cierto que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x y log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Ahora tenemos:
La regla del cociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
La demostración de esta propiedad usa un método similar al que usamos anteriormente.
Nuevamente, si hacemos que M, equals, b, start superscript, x, end superscript y N, equals, b, start superscript, y, end superscript, entonces tenemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x y log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Ahora podemos demostrar la regla del cociente como sigue:
La regla de la potencia: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Esta vez solamente M está involucrada en la propiedad, así que es suficiente hacer que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, con lo cual obtenemos log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
La demostración de la regla de la potencia se muestra a continuación.
Alternativamente podemos justificar esta propiedad con la regla del producto.
Por ejemplo, sabemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, donde M se multiplica por sí mismo p veces.
Ahora podemos utilizar la regla del producto, con la definición de multiplicación como una suma repetida, para completar la demostración. Esto se muestra a continuación.
¡Y ahí lo tienes! ¡Hemos demostrado las tres propiedades de los logaritmos!
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