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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 3: Propiedades de los logaritmos

Justificar las propiedades de los logaritmos

Estudia las demostraciones de las propiedades de logaritmos: las reglas del producto, del cociente, y de potencias.

En esta lección demostraremos tres propiedades de los logaritmos: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Antes de empezar, recordemos un hecho útil, que nos ayudará en el camino.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

En otras palabras, un logaritmo base

b

¡invierte el efecto de la potencia con base

b

[Nuevamente, ¿por qué es cierto esto?]

Ten esto en mente mientras lees las demostraciones que siguen.

La regla del producto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Empecemos demostrando un caso específico de la regla: el caso en el que

M = 4

N = 8

b = 2

Al sustituir estos valores en

\log_{b} (M N)

, vemos que:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 y 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Pues 2 = \log_{2} (4) y 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Así, tenemos que

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Aunque esto solamente verifica un caso, podemos utilizar la misma lógica para demostrar la regla del producto en general.

Observa que escribir

4

8

como potencias de

2

fue la clave de la demostración. Así que, en general, queremos que

M

N

sean potencias de base

b

. Para hacer esto, hagamos que

M = b^{x}

N = b^{y}

para algunos números reales

x

y

[¿Por qué podemos hacer esto?]

Entonces, por definición, también es cierto que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Ahora tenemos:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Sustitución \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Propiedades de exponentes \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Sustitución \end{aligned}$ ‍

La regla del cociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

La demostración de esta propiedad usa un método similar al que usamos anteriormente.

Nuevamente, si hacemos que

M = b^{x}

N = b^{y}

, entonces tenemos que

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Ahora podemos demostrar la regla del cociente como sigue:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Sustitución \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Propiedades de exponentes \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Sustitución \end{aligned}$ ‍

La regla de la potencia: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Esta vez solamente

M

está involucrada en la propiedad, así que es suficiente hacer que

M = b^{x}

, con lo cual obtenemos

\log_{b} (M) = x

La demostración de la regla de la potencia se muestra a continuación.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Sustitución \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Propiedades de exponentes \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Sustitución \\ = p \cdot \log_{b} (M) & La multiplicación es conmutativa \end{aligned}$ ‍

Alternativamente podemos justificar esta propiedad con la regla del producto.

Por ejemplo, sabemos que

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, donde

M

se multiplica por sí mismo

p

veces.

Ahora podemos utilizar la regla del producto, con la definición de multiplicación como una suma repetida, para completar la demostración. Esto se muestra a continuación.