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Justificar las propiedades de los logaritmos

Estudia las demostraciones de las propiedades de logaritmos: las reglas del producto, del cociente, y de potencias.
En esta lección demostraremos tres propiedades de los logaritmos: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Antes de empezar, recordemos un hecho útil, que nos ayudará en el camino.
logb(bc)=c
En otras palabras, un logaritmo base b ¡invierte el efecto de la potencia con base b!
Ten esto en mente mientras lees las demostraciones que siguen.

La regla del producto: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Empecemos demostrando un caso específico de la regla: el caso en el que M=4, N=8, b=2.
Al sustituir estos valores en logb(MN), vemos que:
log2(48)=log2(2223)22=4 y 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)Pues 2=log2(4) y 3=log2(8)
Así, tenemos que log2(48)=log2(4)+log2(8).
Aunque esto solamente verifica un caso, podemos utilizar la misma lógica para demostrar la regla del producto en general.
Observa que escribir 4 y 8 como potencias de 2 fue la clave de la demostración. Así que, en general, queremos que M y N sean potencias de base b. Para hacer esto, hagamos que M=bx y N=by para algunos números reales x y y.
Entonces, por definición, también es cierto que logb(M)=x y logb(N)=y.
Ahora tenemos:
logb(MN)=logb(bxby)Sustitución=logb(bx+y)Propiedades de exponentes=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Sustitución

La regla del cociente: logb(MN)=logb(M)logb(N)

La demostración de esta propiedad usa un método similar al que usamos anteriormente.
Nuevamente, si hacemos que M=bx y N=by, entonces tenemos que logb(M)=x y logb(N)=y.
Ahora podemos demostrar la regla del cociente como sigue:
logb(MN)=logb(bxby)Sustitución=logb(bxy)Propiedades de exponentes=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Sustitución

La regla de la potencia: logb(Mp)=plogb(M)

Esta vez solamente M está involucrada en la propiedad, así que es suficiente hacer que M=bx, con lo cual obtenemos logb(M)=x.
La demostración de la regla de la potencia se muestra a continuación.
logb(Mp)=logb((bx)p)Sustitución=logb(bxp)Propiedades de exponentes=xplogb(bc)=c=logb(M)pSustitución=plogb(M)La multiplicación es conmutativa
Alternativamente podemos justificar esta propiedad con la regla del producto.
Por ejemplo, sabemos que logb(Mp)=logb(MMM), donde M se multiplica por sí mismo p veces.
Ahora podemos utilizar la regla del producto, con la definición de multiplicación como una suma repetida, para completar la demostración. Esto se muestra a continuación.
logb(Mp)=logb(MMM)Definición de exponentes=logb(M)+logb(M)++logb(M)Regla del producto=plogb(M)Suma repetida es multiplicación
¡Y ahí lo tienes! ¡Hemos demostrado las tres propiedades de los logaritmos!

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