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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 3: Propiedades de los logaritmos
Matemáticas
Álgebra 2
Logaritmos
Propiedades de los logaritmos
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Justificar las propiedades de los logaritmos

Google Classroom
Estudia las demostraciones de las propiedades de logaritmos: las reglas del producto, del cociente, y de potencias.
En esta lección demostraremos tres propiedades de los logaritmos: la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Antes de empezar, recordemos un hecho útil, que nos ayudará en el camino.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
En otras palabras, un logaritmo base b ¡invierte el efecto de la potencia con base b!
Ten esto en mente mientras lees las demostraciones que siguen.

La regla del producto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Empecemos demostrando un caso específico de la regla: el caso en el que M, equals, 4, N, equals, 8, b, equals, 2.
Al sustituir estos valores en log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, vemos que:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 y 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Pues 2=log⁡2(4) y 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ y } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Pues $2=\log_2(4)$ y $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Así, tenemos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Aunque esto solamente verifica un caso, podemos utilizar la misma lógica para demostrar la regla del producto en general.
Observa que escribir 4 y 8 como potencias de 2 fue la clave de la demostración. Así que, en general, queremos que M y N sean potencias de base b. Para hacer esto, hagamos que M, equals, b, start superscript, x, end superscript y N, equals, b, start superscript, y, end superscript para algunos números reales x y y.
Entonces, por definición, también es cierto que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x y log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Ahora tenemos:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Sustitucioˊn=log⁡b(bx+y)Propiedades de exponentes=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Sustitucioˊn\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}} \end{aligned}

La regla del cociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

La demostración de esta propiedad usa un método similar al que usamos anteriormente.
Nuevamente, si hacemos que M, equals, b, start superscript, x, end superscript y N, equals, b, start superscript, y, end superscript, entonces tenemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x y log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Ahora podemos demostrar la regla del cociente como sigue:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Sustitucioˊn=log⁡b(bx−y)Propiedades de exponentes=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Sustitucioˊn\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}} \end{aligned}

La regla de la potencia: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Esta vez solamente M está involucrada en la propiedad, así que es suficiente hacer que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, con lo cual obtenemos log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
La demostración de la regla de la potencia se muestra a continuación.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Sustitucioˊn=log⁡b(bxp)Propiedades de exponentes=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pSustitucioˊn=p⋅log⁡b(M)La multiplicacioˊn es conmutativa\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Propiedades de exponentes}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Sustitución}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{La multiplicación es conmutativa}}} \end{aligned}
Alternativamente podemos justificar esta propiedad con la regla del producto.
Por ejemplo, sabemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, donde M se multiplica por sí mismo p veces.
Ahora podemos utilizar la regla del producto, con la definición de multiplicación como una suma repetida, para completar la demostración. Esto se muestra a continuación.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Definicioˊn de exponentes=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Regla del producto=p⋅log⁡b(M)Suma repetida es multiplicacioˊn\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Definición de exponentes}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Regla del producto}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Suma repetida es multiplicación}}}\end{aligned}
¡Y ahí lo tienes! ¡Hemos demostrado las tres propiedades de los logaritmos!

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