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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 8

Lección 3: Propiedades de los logaritmos
Matemáticas
Álgebra 2
Logaritmos
Propiedades de los logaritmos
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Introducción a propiedades de logaritmos

Google Classroom
Aprende las propiedades de logaritmos y cómo utilizarlas para volver a escribir expresiónes logarítmicas. Por ejemplo, expande log₂(3a).
La regla del productolog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
La regla del cocientelog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
La regla de la potencia log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Estas propiedades se aplican para cualesquiera valores de M, N, y b para los cuales cada logaritmo esté definido, es decir para M, N, is greater than, 0 y 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Debes saber qué son los logaritmos. Si no, por favor revisa nuestra introducción a los logaritmos.

Lo que aprenderás en esta lección

Los logaritmos, como los exponentes, tienen muchas propiedades útiles que sirven para simplificar expresiones logarítmicas y para resolver ecuaciones logarítmicas. Este artículo explora tres de esas propiedades.
Veamos cada propiedad individualmente.

La regla del producto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Esta propiedad dice que el logaritmo de un producto es la suma de los logs de sus factores.
Podemos utilizar la regla del rpoducto para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del producto

Para nuestros propósitos, expandir un logaritmo significa escribirlo como la suma de dos o más logaritmos.
Expandamos log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Observa que los dos factores en el valor de entrada del logaritmo son start color #11accd, 5, end color #11accd y start color #1fab54, y, end color #1fab54. Podemos aplicar directamente la regla del producto para expandir el log.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Regla del producto\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Regla del producto}}} \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del producto

Para nuestros propósitos, comprimir una suma de dos o más logaritmos significa escribirla como un solo logaritmo.
Condensemos log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Como ambos logaritmos tienen la misma base (base 3), podemos aplicar la regla del producto en sentido inverso:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Regla del producto=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Regla del producto}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del producto, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.
Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del producto para simplificar algo como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

1) Expande log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.

2) Condensa log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

La regla del cociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Esta propiedad dice que el log de un cociente es la diferencia de los logs del dividendo y del divisor.
Ahora utilicemos la regla del cociente para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla del cociente

Expandamos log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, al escribirlo como la diferencia de dos logaritmos aplicando directamente la regla del cociente.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Regla del cociente\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Regla del cociente}}} \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla del cociente

Condensemos log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Como ambos logaritmos tienen la misma base (base 4), podemos aplicar la regla del cociente en sentido inverso:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Regla del cociente\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Regla del cociente}}} \end{aligned}

Una observación importante

Cuando comprimimos expresiones logarítmicas con la regla del cociente, las bases de todos los logaritmos en la expresión deben ser iguales.
Por ejemplo, no podemos utilizar la regla del cociente para simplificar algo como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

3) Expande log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Condensa log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

La regla de la potencia: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Esta propiedad dice que el log de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
Ahora utilicemos la regla de la potencia para volver a escribir expresiones logarítmicas.

Ejemplo: expandir logaritmos usando la regla de la potencia

Para nuestros propósitos, expandir un solo logaritmo significa escribirlo como un múltiplo de otro logaritmo.
Utilicemos la regla de la potencia para expandir log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Regla de la potencia=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Regla de la potencia}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Ejemplo: condensar logaritmos usando la regla de la potencia

Para nuestros propósitos en esta sección, condensar un múltiplo de un logaritmo significa escribirlo como otro logaritmo solo.
Utilicemos la regla de la potencia para condensar 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Cuando condensamos una expresión logarítmica con la regla de la potencia, convertimos los multiplicadores en potencias.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Regla de la potencia=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Regla de la potencia}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

5) Expande log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) Condensa 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Problemas de desafío

Para resolver los siguientes problemas tienes que aplicar varias propiedades en cada caso. ¡Inténtalo!
7) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

8) ¿Cuál de las siguientes es equivalente a 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

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