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Prueba de las reglas del cociente y de la potencia en logaritmos

CCSS.Math:
HSF.BF.B.5

Transcripción del video

vamos a probar otra de las propiedades de los logaritmos porque ya me gustó esto si utilizamos las potencias y los exponentes podemos lograr demostrar todas las propiedades de los logaritmos así que vamos a escribir aquí lo que siempre sabemos yo sé que el logaritmo en base a en base x de a es igual a b esto quiere decir en lenguaje de exponentes que x elevado a la potencia p es igual a esto ya lo hemos visto varias veces es la expresión equivalente y de aquí voy a partir x elevado a la b es igual a am y esto me va a servir para demostrar la tercera propiedad de los logaritmos a ver qué pasa si yo multiplico esto por se lo voy a multiplicar por ser ceesem es una letra bastante interesante así que voy a multiplicar esto por cm pero como multiplico esto por c pues hay que multiplicarlo de ambos lados de esta igualdad para que se mantenga la igualdad y que me va a quedar pues c veces el logaritmo en base x cbc es el logaritmo en base x de am esto es igual a cbc sven es decir se por b recuerda que hay que multiplicar por ambos lados de la ecuación b por c por b muy bien hasta aquí ya tengo esta propiedad ahora voy a esperar un poco porque lo que quiero hacer a continuación es lo que tengo aquí del lado derecho es a trabajarlo pero elevando a la c va a ser distinto lo que voy a hacer aquí a continuación es elevar a la potencia y que me quedan pues si elevó a la potencia se me va a quedar del lado izquierdo x elevado al haber elevado la potencia cm vamos a escribirlo aquí x elevado al haber elevado a su vez a la sep y del lado derecho pues me queda ha elevado la cem pero aquí voy a utilizar una de las propiedades de los exponentes yo sé que tengo algo elevado a una potencia y después elevado a otra potencia las potencias se multiplican por lo tanto esto me va a quedar x elevado al ave x entonces déjenme escribirlo por aquí esto va a implicar que utilizando las propiedades de los exponentes esto es lo mismo que x elevado a la b por c igual ha elevado a la cem y bueno ahora bien qué te parece si esto mismo yo escribo en lenguaje de logaritmos ya sabemos escribir las cosas que tienen que ver con exponentes en lenguaje de logaritmos así que lo que voy a hacer a continuación escribir esto mismo con la expresión de los logaritmos y me quedaría algo así el logaritmo en base x de ha elevado a la sen esto es igual a b x se me recuerda a que potencia tengo que llevar a x para que me dé ha elevado a la cem y la respuesta después de la potencia de porsche entonces esto es igual a b por cm y qué creés ya logré la tercera propiedad de los logaritmos porque darte cuenta de lo siguiente aquí tengo por cm y aquí tengo también b por cm lo que quiere decir que esta parte de aquí tiene que ser exactamente igual a esta parte de aquí o dicho de otra manera ya llega a la tercera propiedad de los logaritmos c veces el logaritmo en base x esto tiene que ser igual al logaritmo envase x de elevado las dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí vamos a escribirlo seis veces el logaritmo en base x de amd esto tiene que ser igual porque lo acabamos de ver de porsche pero b por c es igual a logaritmo en base x de ha elevado a la cem por lo tanto ya se cumple mi igualdad y aquí tengo mi tercera propiedad de los logaritmos el primer axioma de euclides y ya con esto logramos esta demostración así que vamos a recordar todo lo que hemos visto hasta ahorita todo lo que hemos demostrado y vamos a intentar hacer una nueva demostración a ver lo primero que hicimos en este vídeo fue decir si nosotros tenemos a veces el logaritmo en base x déjame ponerlo aquí seis veces el logaritmo en base x de amd esto es igual a logaritmo en base x de ha elevado al hacer esto lo acabamos de mostrar hace menos de un minuto y en el vídeo pasado vimos la demostración de la suma de logaritmos recuerda habíamos dicho que si nosotros tomamos el logaritmo envase x de am más el logaritmo en base x de b esto es igual al logaritmo en base x de borbén los podemos pasar multiplicando y bueno si tú haces un poco de memoria acerca de las propiedades de los logaritmos que pasaba sé quién me dio en lugar de un más tengo un menos bueno si yo tengo un menos lo que pasaba es que en lugar de pasar multiplicando a por ver lo que pasaba era dividiendo dividimos el que era positivo entre el que ha negativo es decir a entre 20 y de hecho es lo que quiero demostrar en este tiempo que me queda así que vamos a seguir con la misma idea que vimos en el vídeo pasado podría decir que el logaritmo en base x de amd es igual a l y voy a bautizar como el logaritmo envase x de b como m y recuerdas más o menos que hicimos también bautizamos como el logaritmo en base x de entre b a n el logaritmo en base x deja entrever a n y entonces dijimos bueno si esto es cierto entonces x elevado a la l es igual a vamos a ponerlo aquí x elevado a la l mientras que por otra parte x elevado a la m es igual la p de aquí tengo que x elevado la m es igual a b y por último de aquí de la última ecuación tengo que x elevado a la n es exactamente lo mismo que a entre b y de hecho de aquí voy a partir es lo mismo que a entre b y lo que voy a hacer a continuación es sustituir a y sustituir a b de la sus ecuaciones que tengo aquí arriba porque ya sé que es lo mismo que x a la l por lo tanto vamos a ponerlo como a es igual a x a la l y b es igual a 10 y sale m esto no queda x la l entre x a la m es decir a entre 20 x a la n es igual a x a la l entre x a la m y después de aquí pues podemos pasar este x clm con signo negativo recuerdas esta es una de las propiedades de los exponentes que mejor conocemos entonces esto me quedaría como x a la l x x a la menos n o dicho otra manera es lo mismo que x elevado a la l menos m y muy parecido a lo que vimos en el vídeo pasado yo sé que por lo que dice aquí a la n es igual a equis a la l m yo voy a decir que las potencias tienen que ser iguales si quiero que se cumpla esta igualdad es decir que n tiene que ser igual a l menos m las potencias tienen que ser iguales déjenme escribirlo aquí n tiene que ser igual a l menos n muy bien y después lo que voy a hacer lo mismo que hice en el vídeo pasado substituir el valor de x el logaritmo substituir el valor de l en logaritmos y substituir el valor de m en logaritmos y que me va a quedar déjame ponerlo por acá n es el logaritmo en base x de entrever es justo como lo bautizamos aquí abajo n es igual a logaritmo en base xd entre bien el logaritmo en base xd entre b bueno después tengo el en el eslogan ritmo en base x de a entonces déjame ponerlo y copiando aquí el logaritmo en base xd a el logaritmo en base de crisis de an después tengo menos en él pero m es el logaritmo en base x de b lo tengo justo aquí así fue como lo bautizamos casi por cómo lo definimos y lo voy a poner aquí xd ven y ya tengo demostrada la propiedad de la diferencia de logaritmos ya tengo la demostración enhorabuena ya tenemos la siguiente demostración y por lo tanto ya podemos utilizar sin miedo a equivocarnos la propiedad que tenemos justo aquí muy bien nos falta demostrar solamente una cuarta propiedad que es el cambio de base pero ya no tengo tiempo así que lo voy a ver en el siguiente vídeo y por lo tanto no te lo pierdas