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Usar la regla del producto en logaritmos

CCSS.Math:
HSF.BF.B.5

Transcripción del video

de lujo nos piden que simplifiquemos logaritmo en base 3 de 27 x y bueno realmente lo que se refieren es que utilicemos las propiedades de los logaritmos para simplificar lo más que podamos esta expresión y más aún yo creo que están pensando en una propiedad de los logaritmos en particular una propiedad que dice más o menos lo siguiente y déjenme escribirlo aquí para que no se nos olvide y veamos cómo podemos simplificar esta expresión la propiedad a qué me refiero es la siguiente la que dice logaritmo en base b vamos a poner en base be de base de a por c esto es igual a quien el logaritmo en base de de a porsche es igual a logaritmo en base vent de am más lugar ismo envase b de c es decir que podemos pasar de un logaritmo a 2 logaritmos si tenemos la misma base y tenemos dos términos adentro de un logaritmo multiplicándose y por lo tanto esto pasa como el logaritmo del primer término más el logaritmo del segundo término conservando la base bueno esto como lo podremos demostrar o como podemos ver que es cierto vamos a bautizar a los logaritmos voy a decir que el logaritmo en base pda por c es igual a x esto es lo primero que voy a decir después voy a decir o voy a bautizar el logaritmo en base de de am le voy a llamar james y por último voy a decir que el logaritmo en base de c va a ser igual a z recuerda que conservar la misma base y bueno lo único que estoy diciendo es la misma verdad estas dos cosas son cosas equivalentes lo único que ustedes en dos poniéndole nombres distintos para que los podamos trabajar y bueno si a continuación utilizamos el lenguaje exponencial le voy a decir que b elevado al x es igual a hace de la primera igualdad que tengo aquí de la segunda que tengo aquí si lo paso a un lenguaje de exponentes voy a decir que fue elevado a la y es igual a mientras que de la última me va a quedar en lenguaje exponencial que te elevado a la z es igual a c y para esto déjenme cambiar de color porque estábamos utilizando el color verde y si no nos vamos a perder b elevado a la z es igual hace perfecto estas dos son expresiones equivalentes estas dos expresiones equivalentes y estas dos son expresiones equivalentes dicen exactamente lo mismo la misma verdad y por lo tanto fíjate bien ahora lo que voy a hacer yo sé que de elevado la x es a porsche en pero am es b al aiem y c es b a la zeta por lo tanto en lugar de escribir ve a la equis igualada por c voy a escribir vale x igualar pero a vale vea ley en porsche pero en lugar de c voy a escribir ve a la zeta lo único que estoy diciendo sustituyendo el valor de ahí el valor de s que yo ya conozco y entonces que me quedan b elevado a la x es igual a peu elevado la ye por de elevado la zeta sin embargo una de mis propiedades los exponentes dicen que si tengo en la misma base en este caso los exponentes pueden pasar sumando es decir me va a quedar b elevado a la maceta y aquí viene algo muy importante tengo que ver la x es igual a b elevado la maceta y eso quiere decir que x tiene que ser igual ai en maceta pero es logaritmo base de a porsche mientras que el logaritmo en base pda y seta es logaritmo en base en vez de c lo que quiere decir que se cumple esta propiedad que es justo lo que queríamos observar y acabamos de ver cómo se demuestra esta propiedad de los logaritmos muy bien ya que tenemos de propiedades logaritmos y nos acabamos de dar cuenta que sirve para cualquier logaritmo que utilicemos que cumpla esta misma propiedad entonces vamos a basar nuestro ejercicio de simplificar en esta misma propiedad yo tengo logaritmo en base 3 de 27 x y si te das cuenta aquí tengo multiplicando 27 por x por lo tanto no puedo separar utilizándose propiedad de los logaritmos el logaritmo en base 3 de 27 más el logaritmo en base 3 de x sin embargo aquí podemos simplificar un poco porque el logaritmo en base 3 de 27 de esto podemos obtener un número 3 elevado a que potencia me de 27 3 por 3 9 por 3 27 esto es lo mismo que 33 elevado a que potencia media 27 y la respuesta es 33 elevado al cubo es igual a 27 por lo tanto él 327 voy a poner 3 y a esto le voy a sumar el logaritmo en base 3 de x porque al final no podemos saber el valor de x sin embargo ya simplificamos un poco esta expresión esto de aquí es 3 es decir el logaritmo envase 3 de 27 estrés ya esto hay que sumarle el logaritmo en base 3 de x este mismo 3 lo voy a poner aquí más el logaritmo en base 3 de x y ya está simplificamos un poco esta expresión y además utilizamos una de las propiedades de los logaritmos ya podemos decir entonces que el logaritmo en base 3 de 27 x es exactamente igual que tres más el logaritmo en base 3 de x