Introducción a la división larga de polinomios

en este vídeo aprenderemos a dividir polinomios el método que vamos a ver se conoce como división larga vamos a hacer algunos ejemplos para ver de qué se trata sale vamos a empezar con uno muy sencillo que dice haz la división 2 x + 4 entre entre 2 en realidad ya sabemos cómo hacer esta división verdad podemos dividir el numerador y el denominador entre 2 para simplificar la y vamos a ver que nos queda en realidad no estamos cambiando el valor nada más estamos cambiando cómo lo expresamos verdad entonces dividiendo el numerador entre 2 nos queda x + 2 tiene 2 x entre 12 x 4 entre 12 2 y dividiendo el numerador entre 2 nos queda 1 entonces esta división es igual a x + 2 entonces eso es con herramientas que ya tenemos también podríamos haber actualizado un 2 del numerador y luego lo que observamos con el denominador eso también funcionaba pero vamos a ver cómo podemos resolver este problema utilizando división larga va a ser un cañonazo para este problema porque pues es una técnica muy sofisticada en realidad es para ver que no es algo está tremendamente nuevo y después vamos a ver cómo se puede utilizar para problemas un poco más complicados pero bueno vamos con este entonces la idea es poner aquí el 2 afuera porque estamos dividiendo entre 2 aquí ponemos nuestra casita de división y aquí adentro ponemos 2 x más 4 entonces nos preguntamos cuántas veces cabe este 2 en 2 x pues cabe x veces porque 2 x entre 2 es x verdad entonces aquí arriba ponemos una x la voy a poner así con color azul x entonces ahora hacemos x por 2 es 2 x 2 x y restamos entonces le voy a poner aquí un menos 2 x menos 2 x se cancela y ahora baja este 4 baja el 4 cuántas veces cabe el 2 en el 4 pues dos veces entonces aquí le ponemos más +2 y hacemos dos por dos es cuatro restamos estos dos números y aquí nos queda cero entonces justo la división de 2 x + 4 entre 2 es igual a x + 2 que es lo mismo que ya habíamos hecho esto parece muy sofisticado pero vamos a ver que es un proceso más generalizable o sea que funciona para dividir cualesquiera dos polinomios bueno déjame pasar abajo para ver otro ejemplo entonces imagina que queremos realizar la división x cuadrada x cuadrada más 3 x + 3 x 6 y eso / dividido entre le voy a poner x + 1 va x + 1 entonces cuando tenemos ahora grados mayores no nos vamos a preguntar cuántas veces cabe x + 1 en todo esto sino que nada más nos fijamos en los términos de mayor grado aquí sería este x y aquí sería este x al cuadrado entonces la pregunta sería cuántas veces cabe x en x al cuadrado pues cabe x veces verdad x al cuadrado entre x es x entonces esa x la voy a poner aquí en donde está el lugar de las x es ahí está la equis y hacemos la multiplicación x x x es x cuadrada x x 1 es x va y que hacemos ahora pues vamos a restar entonces nos quedaría - x cuadrado menos x entonces le voy a poner así la línea para que restamos esto se cancelan 3 x x 2 x 2 x y finalmente el 6 no le restamos nada y baja como 6 baja como 6 todavía no hemos terminado porque x todavía cabe en este término de aquí en este 2 x y cuántas veces cabe pues 2 verdad 2 x entre x es 2 entonces aquí le pongo más 2 muy bien ahora este 2 multiplica el x 1 nos queda 2x aquí 2 x 1 es 2 y restamos menos menos entonces vamos a hacer la resta 2 x 2 x se cancela 6 menos dos es cuatro y observa el x ya no cabe en el 4 porque éste ya tiene grado mayor que el 4 entonces este 4 es el residuo el residuo de nuestra división entonces déjame reescribir esta operación para que quede un poco más claro lo que hicimos lo que acabamos de ver es básicamente que exista al cuadrado más 13 x + 6 / / / x 1 / x más uno es igual a x2 x + 2 y sobraron 4 o sea sobran 4 divididos entre x + 1 vale entonces esto es la parte que corresponde al residuo y para verificar que está de adeveras es una igualdad que estas dos expresiones son equivalentes podríamos desarrollar el lado derecho para ver que regresáramos acá lo que tenemos que hacer es estas sumas de fracciones entonces ponemos que tengan denominador común multiplicamos aquí por x + 1 y dividimos entre x + 1 y sumamos 4 / x + 1 entonces si haces esta multiplicación y le sumas el 4 deberías regresar a equis cuadradas más 3 x + 6 esto está muy divertido verdad vamos a hacer otro más vamos a hacer otro más entonces éste dice ahora imagínate que empiezan dándonos la expresión x cuadrada más 5 x más 4 + 4 y esa la queremos dividir entre x 4 x + 4 muy bien pues hacemos nuestra división de casita estamos dividiendo entre x + 4 / x + 4 4 la expresión x cuadrada + 5 x + 4 muy bien entonces primera pregunta cuántas veces cabe xx cuadrada pues cabe cabe x veces que x cuadrada entre xx muy bien este x multiplica x 4 x x x x cuadrada x x 4 es 4x y ahora tenemos que restar menos menos hacemos la resta x cuadrada - x cuadrada déjame poner esto en otro color lo voy a poner con color naranja entonces este se cancela 5 x menos 4 x aquí nos queda x y aquí vamos a ponerle más 4 porque el 4 baja no le estamos restando nada entonces bueno a lo mejor aquí puedes ver directamente que x + 4 cabe una vez en x + 4 pero vamos a hacer de cuenta que no nos dimos cuenta de eso y vamos a ponerle cuántas veces cabe x en x cabe justo una vez verdad entonces ahora multiplicamos 1 por x 4 es x + 4 x + 4 pero tenemos que restar entonces voy a poner el x y el 4 tenemos que restar y hacemos la resta y nos queda justamente muy bien entonces como el residuo es 0 quiere decir que ya no nos va a sobrar nada y por lo tanto esta división x cuadrada más 5 x + 4 entre 4 es igual a x + 1 x + 1 este problema pudimos haberlo resuelto de otra forma pudimos haber intentado factorizar el numerador por ejemplo es decir que x cuadrada más 5 x más 4 entre x 4 es igual a x4 por x1 ahí está la factorización entre x4 entonces pudimos haber factor izado esto de golpe pero bueno eso requiere mucha inspiración verdad y bueno en efecto si da o sea cuatro por una es 4 y 4 15 entonces y ahí está la factorización pero ahí requeríamos pues mucha inspiración y también necesitábamos que por casualidad el residuo fuera 0 entonces bueno gracias a eso en efecto cancelando este con este nos queda x + 1 pero bueno o sea ambas ambos métodos funcionan en este caso pero la división larga funciona incluso aunque la división no sea exacta aunque este residuo no nos haya quedado cero bueno vamos a hacer otro más otro más un poco más complicado porque esta es una herramienta súper útil súper útil para para varias cosas matemáticas a las cuales te vas a enfrentar después entonces hagamos un poco más complicado con polinomios de grado 3 y 2 entonces imagínate que queremos dividir 3 x al cubo menos 2 x cuadrada + 7 x menos cuatro menos cuatro entre entre y aquí le voy a poner x cuadrada más uno va ahora parece un poco complicado pero es exactamente la misma idea déjame poner nuestra casita para realizar la división entonces afuera tenemos no voy a poner aquí abajo afuera tenemos x cuadrada más 1 estamos dividiendo entre x cuadrada más 1 y adentro tenemos 3 x al cubo 3 x al cubo menos 2 x cuadrada más 7 x 17 x menos 4 muy bien entonces ahora cuántas veces cabe x cuadrada en 3 x al cubo bueno pues cuando cuanto es 3 x al cubo entre x al cuadrado el el 3 queda no se cancela con nada y el x al cubo entre x cuadrada es x entonces son 3 x dejarme lo escribo por acá entonces le voy a poner es 3x y lo pongo en la columna que le corresponde 3x muy bien entonces ahora 3x x x cuadrada más 1 cuando es pues es 3x cúbica 3x cúbica 3x x uno es 3x no lo pongo aquí sino en la columna que le corresponde entonces le voy a poner 3x y tenemos que restar restamos vamos a ver cuánto nos quedan vamos a ver cuántos nos quedan este se cancela con este menos dos equis cuadrada no le estamos restando nada quedan como menos dos equis cuadrada 7x menos tres equis es 4x 4x muy bien y finalmente hay que bajar este menos cuatro menos 4 excelente vamos a otro color que ya está todo muy azul vamos a color rojo digamos entonces ahora cuántas veces cabe x cuadrada en menos 2 x cuadrada pues cabe menos dos veces que menos dos por equis cuadrada es menos 2x cuadrada menos dos por uno es menos dos los menos dos y ahora tenemos que dividir perdón tenemos que restar y como estamos restando este se hace más y éste se hace más estos se cancelan aquí nos queda 4x y aquí nos queda menos 42 que es menos 2 muy bien entonces déjame reescribir esto ya nada más en la forma en la que nos queda y pues para terminar con un color verde entonces que nos quedaría nos quedaría que la división es igual a 3 x menos 2 y tenemos un residuo y este es recibo porque x cuadrada ya no caben 4 x x cuadrada ya es de grado mayor entonces estoy aquí ya es el residuo voy a poner así residuo vale entonces el residuo sería más 4 x menos 2 dividido dividido entre x cuadrada x cuadrada más punto bueno espero que te parezcan tan divertidos como a mí nos vemos en los siguientes vídeos