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Demostración del teorema del residuo polinomial

CCSS.Math:
HSA.APR.B.2
,
HSA.APR.B

Transcripción del video

en este vídeo haré a la demostración del teorema del residuo para polinomios y para que no resulte tan abstracta empezaré revisando el ejemplo que hicimos cuando presentamos el teorema del residuo para polinomios vimos que sí teníamos 3x cuadrada menos 4 x 7 y lo dividimos entre x menos uno obteníamos 3x menos 1 y un residuo de 6 y nos dimos cuenta que este era el residuo pues el orden de este término es menor al orden que tenemos aquí en el denominador y todo esto ocurrió después de haber hecho la división larga de este numerador entre el denominador de tal manera que en este ejemplo podríamos haber escrito esto que hicimos aquí como nuestra fx voy a ponerlo por aquí nuestra fx que es 3x cuadrada menos 4 x más 7 es igual al producto de estos dos términos al producto de este cociente por el denominador esto es igual al producto de este cociente el cociente que es 3x menos 1 que multiplica al denominador que multiplica - 1 y esto aún no está completo pues cuando multiplicas estos dos términos no obtienes esto de acá hay que sumarle a esto el residuo esto más el residuo r no mejor voy a poner directamente el valor del residuo 6 esto de aquí es análogo a lo que teníamos cuando hacíamos las divisiones en aritmética así si tuviéramos la división de digamos voy a mostrarte directamente la analogía si tenemos por ejemplo la división de 25 entre 4 bien sabemos que 25 entre 4 es igual a 6 6 por 4 24 lo cual restamos de 25 para obtener que el residuo es 1 entonces 25 lo podemos escribir de la siguiente manera 25 es igual a 6 por 4 25 es igual a 6 4 ya eso le sumamos el residuo más 1 esto que hicimos aquí es exactamente lo mismo nada más que aquí lo estamos haciendo con expresiones algebraicas aún no entraba la demostración lo único que he querido hacer es aclararte que cuando nosotros dividimos entre x menos 13 x coah - 4 x + 7 obtuvimos esto de aquí es decir 3 x 4 menos 4 x + 7 es igual a 3 x menos 1 x x menos uno más el residuo más 6 escribamos esto de manera abstracta este término que tenemos aquí es nuestro polinomio fx que es igual a 3 x menos 1 que en este caso es el cociente a este cociente le voy a llamar q de x déjame ponerlo con otro color este de aquí es q de x es un polinomio que le voy a llamar q de x f x es igual a q de x que multiplica a x menos 1 pero lo voy a llamar x menos a pues lo estoy haciendo en general así es que q de x que multiplica a x menos a a lo cual le voy a sumar el residuo r aquí sé que el residuo es un número es una constante pues sé que su orden es menor a x1 a x menos a que es un polinomio de orden 1 con lo cual tiene que ser un polinomio de orden 0 es decir una constante esto que hemos escrito aquí entonces es verdad en general para cualquier polinomio fx dividido entre cualquier x menos a vamos a escribir eso aquí esto es verdadero para todas fx para todas fx y para todas x menos a ahora bien qué va a suceder cuando nosotros evaluamos efe de a qué ocurre al evaluar efe en a en la expresión que acabamos de escribir y que sabemos que siempre es verdadera veámoslo tenemos que fedea aquí voy a usar otro color para resaltar la a en la cual estamos evaluando la función entonces efe de a efe de a es igual acude a q evaluada en a que multiplica x más bien a a que multiplica a menos a y creo que ya te estás dando cuenta a que vamos a llegar que multiplica a a menos a + r y ahora qué es lo que tenemos aquí a menos a es cero no me importa cuánto vale q de a porque lo voy a multiplicar por 0 así es que todo este término se cancela con lo cual llegamos a que f ese día va a ser igual r y ya la tenemos esta es la demostración del teorema del residuo para polinomios cualquier polinomio que al dividirlo entre x menos a obtienes el cociente q de x y el residuo r puedes escribirlo de esta manera una vez que el polinomio se tiene escrito de esta manera al evaluarlo entonces en la vamos a obtener que el polinomio evaluado en a coincide exactamente con el residuo y este es el teorema del residuo para polinomios y así hemos concluido con una de las demostraciones más simples de algo que en un principio parece como mágico