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Álgebra 2
Curso: Álgebra 2 > Unidad 3
Lección 3: Extraer factores comunesFactorizar polinomios al sacar un factor común
Aprende a factorizar un factor común de una expresión polinomial. Por ejemplo, factoriza 6x²+10x como 2x(3x+5).
Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección
El MCD (máximo común divisor) de dos o más monomios es el producto de todos sus factores primos comunes. Por ejemplo, el MCD de 6, x y 4, x, squared es 2, x.
Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro articulo sobre máximos comunes divisores de monomios.
Lo que aprenderás en esta lección
En esta lección, aprenderás a sacar factores comunes de polinomios.
La propiedad distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c
Para entender cómo sacar factores comunes, debemos entender la propiedad distributiva.
Por ejemplo, podemos usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de 3, x, squared y 4, x, plus, 3 como se muestra a continuación:
Observa que cada término en el binomio se multiplicó por un factor común de start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
Sin embargo, como la propiedad distributiva es una igualdad, ¡el opuesto de este proceso también es correcto!
Si comenzamos con 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar la propiedad distributiva para factorizar start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 y obtener 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
La expresión resultante está en forma factorizada porque está escrita como un producto de dos polinomios, mientras que la expresión original es una suma de dos términos.
Comprueba tu comprensión
Factorizar el máximo común divisor (MCD)
Para factorizar el MCD del polinomio, haz lo siguiente:
- Encuentra el MCD de todos los términos en el polinomio.
- Expresa cada término como un producto del MCD y otro factor.
- Usa la propiedad distributiva para factorizar el MCD.
Vamos a factorizar el MCD de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Paso 1: encuentra el MCD
- 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
- 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Así que el MCD de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared es start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Paso 2: expresa cada término como un producto de start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 y otro factor.
- 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
- 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Así que el polinomio puede escribirse como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Verificar nuestro resultado
Podemos revisar nuestra factorización al multiplicar 2, x, squared de regreso en el polinomio.
Como esto es lo mismo que el polinomio original, ¡nuestra factorización es correcta!
Comprueba tu comprensión
¿Podemos ser más eficientes?
Si te sientes cómodo con el proceso de factorizar el MCD, puedes usar un método más rápido:
Una vez que conocemos el MCD, la forma factorizada es simplemente el producto de ese MCD y la suma de los términos en el polinomio original dividido entre el MCD.
Ve, por ejemplo, cómo usamos este método rápido para factorizar 5, x, squared, plus, 10, x, cuyo MCD es start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
Factorizar factores binomiales
El factor común en un polinomio no tiene que ser un monomio.
Por ejemplo, considera el polinomio x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Observa que el binomio start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva:
Comprueba tu comprensión
Diferentes tipos de factorizaciones
Puede parecer que hemos usado el término "factor" para describir varios procesos diferentes:
- Factorizamos monomios al escribirlos como un producto de otros monomios. Por ejemplo, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
- Factorizamos el MCD de polinomios usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
- Factorizamos factores binomios comunes que dieron lugar a una expresión igual al producto de dos binomios. Por ejemplo:
Aunque hayamos podido usar diferentes técnicas, lo que hicimos en cada caso fue escribir el polinomio como un producto de dos o más factores. Así que en los tres ejemplos, factorizamos el polinomio.
Problemas de desafío
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la ultima alguien me la explica(5 votos)
en esa la cuestión seria primero sacar el MCD de la expresión algebraica, después obtener la formula del área del rectángulo ok, posteriormente ocupar la formula para determinar que espacio corresponde al ancho y largo y ya luego se factorizaria y quedaria:
2x^2(4x^2+3)(6 votos)
La ultima me confundió
No le entiendo(6 votos)- Ay Alguien Que Pase Las Respuestas? Están Muy Difíciles.(6 votos)
Que no mcd era mediocampista defensivo?(5 votos)- Al final solo tienes que colocar lo que te sale entre paréntesis como el largo y lo que lo multiplica como el ancho.(4 votos)
- Osea si le entendi pero un poco pero pude resolverlo gracias a su explicación :D(4 votos)
mejoren el sistema pues algunas de mis respuestas no se envian(3 votos)- no le entendi a la ultima(3 votos)
