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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:15

Fórmula de series geométricas finitas

CCSS.Math:
HSA.SSE.B.4

Transcripción del video

imagina que estamos trabajando con series geométricas que vamos a trabajar con series geométricas y que además conocemos algunas cosas importantes de estas series geométricas vamos a fijarnos en una en particular así que aquí tengo series geométricas lo primero que voy a decir es que conocemos su primer término así que voy a llamar a a su primer término déjame escribirlo es su primer primer término y bueno también voy a suponer que conocemos su razón común voy a decir que r es su razón razón o proporción común razón y bueno voy a decir que estoy trabajando con una serie finita lo que quiere decir que tienen un número finito de términos así que voy a suponer que n n es igual a la cantidad de términos que tenemos es decir el número de términos entonces n va a ser igual al número de términos y bueno por último voy a llamar a ese subíndice n a ese subíndice n estã de aquí va a ser la suma d primero n en términos sn va a ser la suma de los primeros n términos y yo lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar una expresión para referirnos a la suma de los primeros n términos es decir proponer una fórmula general para esta suma de los primeros n términos una fórmula para evaluar series geométricas así que pues empecemos escribamos que s n s n va a ser la suma de los primeros en eternos entonces vamos a escribirlos en primer término se llama a por lo tanto lo voy a poner aquí le voy a sumar el segundo término pero piense en segundo término bueno el segundo término va a ser lo mismo que el primer término por la razón común es decir voy a poner aquí a am ya está la voy a multiplicar por una razón común es decir me va a quedar eres mi segundo terno y después quiero tomarme el tercer término a esto le voy a sumar el tercer término bueno pues tienes mi tercer término observa que va a ser tomarme el segundo término y multiplicarlo de nuevo por la razón común eso quiere decir que va a ser a r por r o dicho de otra manera a que multiplica a r elevada al cuadrado y bien podemos seguir sumando y sumando y sumando hasta llegar a los n términos déjame ponerlo así hasta que lleguemos al último término al enésimo término y quién va a ser el enésimo termino bueno puedes estar tentado a decir que es a que multiplica a r elevado a la n pero ten cuidado porque observa que nuestro primer término es a o lo podemos ver como a que multiplica a r elevado a la potencia cero y después nuestro segundo términos a que multiplica a r elevado a la primera potencia y nuestro presente nos la que multiplica ha elevado a la segunda potencia y así nos podemos seguir y seguir si te das cuenta en cualquier término que estemos el exponente es el número de término menos uno entonces sí estamos en el enésimo término vamos a tener a que multiplica r elevado a la potencia n menos uno y bueno como queremos obtener una fórmula linda y limpia para evaluar esto podemos usar un pequeño truco y para hacer esto en lo que vamos a pensar es en la multiplicación de esta suma ese subíndice n por r es decir no voy a tomar r veces la suma ese subíndice n ese subíndice n y después cuando me tomé la resta de estas dos se van a ir simplificando y eliminando muchos términos en el lado derecho es más de una vez vamos a hacer lo voy a multiplicar esta suma pero por menos r para que aquí me quede este signo negativo y veas cómo se van a ir cancelando los términos así que se multiplicó cada uno de estos sumandos por menos r que me va a quedar bueno pues observa que se multiplicó menos r por el primer término déjame ponerlo así lo voy a poner justo acá porque nos va a ayudar a eliminar este de aquí déjame poner que voy a multiplicar por menos r así que estoy tomándome el primero y multiplicando lo por menos r y que obtengo bueno pues observa que el signo me va a quedar negativo y después tengo a por r lo cual es a ver déjame escribirlo así x de lujo y si ahora multiplicó el segundo término por menos r déjame ponerlo así ahora voy a tomarme el segundo término y lo voy a multiplicar por menos r y lo voy a poner aquí lo voy a multiplicar al punto menos r que me va a quedar bueno pues observa que esto no se cambia más por menos es menos entonces me va a quedar aquí un signo negativo y después tengo a erc que multiplica a r esto es lo mismo que a ere cuadrada estás de acuerdo a que multiplica a r por r es lo mismo que a ere cuadrada re cuadrada y creo que ya estás viendo a dónde va todo esto los estoy poniendo justo acá abajo porque cuando sume estas dos se van a ir cancelando todos los términos y que me va a quedar bueno pues así me voy a seguir restando y restando y restando hasta llegar al penúltimo término y bueno este se ve de la siguiente manera se ve como a que multiplica elevado a la n 2 porque es el penúltimo estás de acuerdo y si a eso lo multiplicamos por menos rm que me va a quedar es si no me queda negativo y me queda a que multiplica a ere elevado a la n 1 si el anterior a este es a que multiplica a r elevado a la enee menos 2 y a eso lo multiplicamos por r me va a quedar que la a sigue igual y la r queda elevada a la n 1 y si me fijo en el último término quien va a ser sea este de aquí lo multiplicó por menos r a este de aquí lo multiplicó por menos r que me va a quedar bueno primero voy a tener un signo negativo más x menos es menos y después observa que a que multiplica a r elevado a la n 1 y esto lo multiplicamos por r es lo mismo que am que multiplica a r elevado a la n fíjate bien r elevado a la n 1 que multiplica su vez r a la primera potencia bueno pues eso va a ser r elevado a la n iv ahora lo que es muy interesante kim es que si me agarró la suma del lado izquierdo y del lado derecho estas igualdades que tengo aquí que me va a quedar pues hagámoslo me voy a tomar la suma de estos dos y la suma de todo esto que tengo aquí y que voy a obtener del lado izquierdo bueno observa que voy a obtener ese subíndice n ese subíndice n menos - r veces ese subíndice n ese subíndice en esto es lo que me queda del lado izquierdo y del lado derecho o del lado derecho va a pasar algo súper padre se van a cancelar muchos de estos términos y date cuenta que solamente me voy a quedar con esta am me voy a quedar con esta app y con este de aquí cuando es del final porque todos los demás observan se van a cancelar aquí tengo que multiplicar positivo y aquí lo tengo negativo entonces estos dos se van a cancelar y después aquí tengo más cuadrada y aquí - r cuadrada por lo tanto todos se van a cancelar y así voy a seguir cancelando y cancelando y cancelando hasta que llegó a este a que multiplica a r elevado a la n 1 y aquí lo tengo en negativo esos 2 también se van a cancelar y solamente me voy a quedar con este último con este último que puedo escribir así como menos am que multiplica a r elevado y ya casi acabamos porque si ahora podemos resolver para ese subíndice n tendremos nuestra fórmula que buscábamos desde un principio entonces déjame bajar un poco la pantalla y vamos a resolver esto bueno pues si del lado derecho sacamos como factor común a ese subíndice en el factor izamos a ese subíndice en el que me va a quedar bueno ese subíndice en el que va a multiplicar a quien primero multiplica a uno para obtener ésta ese subíndice n uno menos y después multiplica a r después multiplica a r para obtener estas tres veces ese subíndice n entonces del lado derecho factor hizo a ese subíndice n y del lado izquierdo puedo factorizar puedo factorizar entonces me va a quedar am a que multiplica a quién bueno pues observa que primero multiplica a uno para obtener esta am a que multiplica a uno y llegamos a esta am y después multiplica a r elevado a la n - r elevado a la n y ya está del lado derecho factor izamos está a y ya casi acabamos con un poco de álgebra vamos a poder obtener esta suma que nosotros queríamos el valor de ese n porque a quien va a ser igual bueno pues ese subíndice n va a ser igual a a que multiplica a 1 - r elevado a la n entre 1 - r esto lo voy a pasar dividiendo entonces me va a quedar de la siguiente manera a que multiplica a 1 - r a la n esto a su vez va a estar dividido entre m - ere y ya está pudimos averiguar cuánto era esta suma que nosotros estábamos buscando esta suma ese subíndice n que es la suma para los primeros n términos de una serie geométrica y bueno recuerda que la serie geométrica era finita en los próximos vídeos aplicaremos esta fórmula y te invito a que siempre que uses esta fórmula recuerdes que es muy importante de dónde viene porque ahora ya sabes de dónde viene esta fórmula así que manténlo presente cuando estés resolviendo un ejercicio y bueno a veces puedes tener una anotación de sigma la anotación sigma puede empezar no se puede empezar en cero es decir en su primer término n va a tomar el valor de 0 e ir hasta un cierto número en este caso debes de tener mucho cuidado porque esa serie tiene un término además entonces tienes que ser muy cuidadoso es el primer término n es el número de eternos lo definimos acá arriba recuerdas y r es nuestra razón común