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Problemas verbales de series geométricas: caminata

Modelar de la longitud de una caminata con una serie geométrica.

Transcripción del video

nos dicen que lorena se fue a un viaje de senderismo de cuatro días cada día caminaba un 20% más que la distancia que caminó el día anterior recorrió un total de 27 kilómetros cuál es la distancia que camino lorena en el primer día del viaje y dice redondea tu respuesta final al kilómetro más cercano como siempre trata de calcular cuánto camino el primer día muy bien llamemos a la cantidad que camino el primer día y luego usando a veamos si podemos escribir una expresión para calcular cuánto camino en total de modo que eso debería ser igual a 27 y luego tal vez podríamos calcular a así que el primer día ella camino a kilómetros ahora cuánto camino el segundo día bueno nos dicen que cada día ella camino un 20% más que la distancia que camino el día anterior entonces el día siguiente ella camino 20% más que a así que eso es igual a 1.2 por a y cuanto camino después en su tercer día bueno eso es igual a 1.2 por el segundo día y es 1.2 por 1.2 o podemos decir 1.2 al cuadrado por a y luego cuánto camino en el cuarto día ella hizo un viaje de senderismo de 4 días así que ese es el último día bueno eso será 1.2 por el tercer día por lo tanto esto va a ser igual a 1.2 a la tercera potencia por a entonces esta es una expresión de app para calcular lo que ella caminó durante los 4 días y sabemos que ella camino un total de 27 kilómetros por lo que esto es igual a 27 kilómetros ahora podrías calcular en esta expresión podrías factorizar la y decir a por uno más 1.2 más 1.2 al cuadrado más 1.2 a la tercera potencia es igual a 27 y luego podrías decir que a es igual a 27 sobre 1 1.2 más 1.2 al cuadrado más 1.2 a la tercera potencia y necesitaríamos una calculadora para evaluar esto pero voy a hacer una técnica diferente una técnica que funcionaría incluso si tuvieras 20 términos aquí en teoría también podrías hacer esto con 20 términos pero se vuelve mucho más complicado también podrías si tuvieras 200 términos entonces la otra forma de abordar esto es usar la fórmula para una serie geométrica finita como lo vamos a evaluar y solo como recordatorio la suma de los primeros n términos va a ser el primer término que podríamos llamar a menos el primer término multiplicado por nuestra proporción común en este caso nuestra proporción común es 1.2 porque cada término sucesivo es 1.2 por el primero por lo tanto nuestro primer término multiplica nuestra proporción común a la enésima potencia todo esto sobre uno menos la proporción común en otros vídeos explicamos de dónde viene esto lo demostramos pero aquí podemos aplicarlo ya sabemos cuál es nuestra a la usamos como nuestra variable nuestra proporción común en esta situación es igual a 1.2 y nuestra n va a ser igual a 4 otra forma en que me gusta pensarlo es nuestro primer término que vemos justo allí menos el término el que no llegamos si tuviéramos un quinto término estaríamos restando ese quinto término porque no estamos llegando a la cuarta potencia aquí el quinto término habría sido a la cuarta potencia todo eso sobre uno menos la proporción común y así el lado izquierdo de nuestra ecuación la podríamos describir como nuestro primer término menos nuestro primer término multiplicado por nuestra proporción común 1.2 a la cuarta potencia y todo eso sobre uno menos nuestra proporción común y entonces eso podría ser igual a 27 permítanme desplazarme un poco hacia abajo para tener más espacio para resolver veamos si puedo simplificar esto un poco esto va a ser igual a menos 0.2 en el numerador podemos factorizar de modo que esto será igual aa por 1 menos 1.2 a la cuarta potencia podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por menos 1 y esto nos llevará a a x voy a poner a afuera de la fracción así que cambiar el orden aquí y me voy a deshacer de este negativo 1.2 a la cuarta potencia menos uno sobre 0.2 es igual a 27 una vez más todo lo que hice fue sacar a la de la fracción así que está aquí y multiplique el numerador y el denominador por menos 1 el numerador x menos 1 cambia a estos dos y luego multiplicar menos 0.2 por menos 1 es igual a 0.2 positivo ahora sólo puedo multiplicar ambos lados por el recíproco de esto entonces lo haré aquí arriba 0.2 sobre 1.2 a la cuarta a menos uno y luego aquí 0.2 sobre 1.2 a la cuarta potencia menos 1 esto se cancela con esto esto se cancela con esto es por eso exactamente que lo hice y nos quedamos con una es igual a 27 por 0.2 todo eso sobre 1.2 a la cuarta potencia menos 1 y esta expresión debería darnos exactamente el mismo valor que la expresión que acabamos de ver pero esta expresión es útil incluso si tuviéramos y en términos podríamos usar la sacaré la calculadora en realidad evaluar el primero este denominador 1.2 a la cuarta potencia es igual a menos 1 es igual a y esto está en el denominador por lo que simplemente podría tomar el recíproco y luego multiplicar eso por 27 por 0.2 es igual a 5.0 29 ahora quieren que redondeamos nuestra respuesta al kilómetro más cercano por lo que esto será aproximadamente igual a 5 kilómetros esto es aproximadamente lo que habría viajado el primer día de su viaje de senderismo