If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:6:55

Ejemplo resuelto: serie geométrica finita

Transcripción del video

y nos piden que calculemos la suma de los primeros 50 términos de esta serie y tal vez inmediatamente reconozcan que es una serie geométrica entonces cuando pasamos de un término a otro que es lo que estamos haciendo bueno al pasar de 1 a 10 onceavos multiplicamos por 10 entre 11 y después volvemos a multiplicar por 10 entre 11 y así sucesivamente entonces como necesitamos encontrar los primeros 50 términos podemos aplicar la fórmula que deducimos anteriormente para la suma de series geométricas finitas que dice que la suma de en este caso de los primeros 50 términos la suma de los primeros 50 términos es igual al primer término que en este caso es 1 es igual a 1 x vamos a ponerlo de otro color por 1 - la razón común que en este caso es 10 11 a vos 10 11 a vos a la 50 es decir al número de términos que tenemos y todo eso entre 1 - nuestra razón común ahora no voy a resolverlo completamente pero podemos simplificar esto un poco esto es igual a 1 menos a olvide poner el paréntesis aquí ahora si uno menos 10 onceavos a la 50 entre esto es 11 onceavos menos 10 onceavos eso es igual a 1 entre 11 que es lo mismo que multiplicar el numerador por 11 entonces esto es igual a 11 por 1 menos 10 11 a vos a las 50 ok y podríamos tratar de simplificar esto aún más pero hasta aquí está bien porque en este punto todo esa aritmética hagamos otro es divertido vamos a ver claramente esta es una serie geométrica pero primero veamos cuántos términos tenemos y tal vez piensen bueno si al final está elevado a la potencia 79 han de ser 79 términos pero tengan cuidado porque el primer término empieza desde que elevamos a la potencia cero es decir en el primer término restamos 0.99 a la cero en el segundo término estamos elevando a la potencia 1 el tercer término lo elevamos al cuadrado y el cuarto término está elevado al cubo y así sucesivamente entonces este término es el número 80 este es el término número 80 entonces si nosotros queremos encontrar ese subíndice 80 esto es igual a nuestro primer término que es uno por uno menos la razón común elevada a la 80 y todo eso entre estoy dejando ese espacio en blanco porque aún no sabemos cuál es nuestra razón común entre 1 - la razón como ahora al principio tal vez me digan pues no tal vez aquí la razón común sea 0.99 pero observen que aquí tenemos un cambio de signo así que para pasar de un término al siguiente porque lo multiplicamos bueno para pasar del primer término al segundo multiplicamos por menos 0.99 entonces multiplicamos por menos 0.99 y para el siguiente terminó nuevamente multiplicamos por menos 0.99 así que nuestra razón común no es 0.99 positivo sino - 0.99 vamos a escribir menos 0.99 y claro esto elevado a la 80 entre 1 menos menos 0.99 ahora vamos a simplificar esto un poco todo esto es igual a bueno no necesitamos preocuparnos por este uno entonces nos queda uno menos menos 0.99 elevado a la 80 y bueno como estamos elevando a un número par esto será positivo entonces nos queda como 0.99 a la 80 y todo eso entre menos y menos es más entonces todo esto entre 1.99 y podríamos simplificar esto aún más pero si tenemos una calculadora podemos encontrar el valor exacto o mejor dicho el valor más aproximado porque la mayoría de las calculadoras no nos dan el valor exacto cuando elevamos salgo a la 80 pero bueno esta es nuestra suma hagamos otro aquí tenemos una serie definida recursiva mente y es muy útil pensar en cómo se ve miren el primer término es 10 y después el siguiente término vamos a ver el segundo término es decir a subíndice 2 es igual a a subíndice 1 por 9 decimos entonces el siguiente término es igual al término anterior por 9 decimos entonces es igual a 10 por 9 entre 10 y el siguiente término es igual al segundo término por 9 decimos entonces 10 por 9 entre 10 al cuadrado pero de esta forma no está escrito como una serie geométrica finita entonces digamos que queremos la suma la suma de los primeros no sé de los primeros 30 términos queremos la suma de los primeros 30 términos entonces como sería bueno estamos buscando ese subíndice 30 entonces la suma de los primeros 30 términos es igual a el primer término por uno menos la razón común elevada a la 30 y todo eso entre uno menos la razón común entonces uno menos nueve décimos es undécimo dividimos entre un décimo y eso es lo mismo a que si multiplicamos por 100 entonces esto es igual a 100 por uno menos nueve decimos elevado a la 30 elevamos a la 30 los 9 décimos no solamente el número 9 pues bueno ahí lo tiene