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Ejemplo resuelto: serie geométrica finita

Transcripción del video

nos piden que calculemos las sumas de los primeros 50 términos de esta serie y todo es inmediatamente reconozcan que es una serie o metric entonces cuando pasamos de un término a otro que es lo que estamos haciendo bueno al pasar de 1 a 10 11 a 2 multiplicamos por diez entre 11 y después volvemos a multiplicar por diez entre ons y así sucesivamente entonces cómo necesitamos encontrar los primeros 50 términos podemos aplicar la fórmula que deducimos anteriormente para la suma de series geométricas finitas que dice que la suma de en este caso de los primeros 50 términos la suma de los primeros 50 términos es igual al primer término que en este caso es uno es igual a 1 por vamos a ponerlo de otro color 121 - la razón común que en este caso es 10 onceavos 10-11 a voz a las 50 es decir al número de términos que tenemos y todo eso entre 1 - nuestra razón común ahora no voy a resolverlo completamente pero podemos simplificar esto un poco esto es igual a 1 no olvide poner el paréntesis aquí ahora si uno menos 10 onceavos a las 50 entre esto es 11 onceavos -10 anunciados eso es igual a 1 entre ons que es lo mismo que multiplicar el numerador por 11 entonces esto es igual a 11 por 1 - diez asociados a las 50 ok y podríamos tratar de simplificar esto aún más pero hasta aquí esta vez porque en este punto todo es arithmetic hagamos otro es divertir vamos a ver la mente esta es una serie de ficción métrica pero primero veamos cuántos términos tenemos y tal vez piense bueno si al final está elevado a la potencia 79 han de 79 termina pero tengan cuidado porque el primer término empieza desde que elevamos a la potencia cero es decir en el primer término restamos 0.99 a la 0 en el segundo término estamos elevando a la potencia un el tercer término lo elevamos al cuadrado y el cuarto término está elevado al cubo y así sucesivamente entonces este término es el número 80 este es el término número 80 entonces si nosotros queremos encontrar ese subíndice 80 esto es igual a nuestro primer término que es uno por uno - la razón común elevada a la 80 y todo eso entre estoy dejando ese espacio en blanco porque aún no sabemos cuál es nuestra razón común entre 1 - la razón como ahora al principio tal vez me diga bueno tal vez aquí la razón común sea 0.99 pero observen que aquí tenemos un cambio de signo así que para pasar de un término al siguiente porque lo multiplicamos bueno para pasar del primer término al segundo multiplicamos por menos 0.99 entonces multiplicamos por menos 0.99 y para el siguiente terminó nuevamente multiplicamos por menos 0.99 así que nuestra razón común no es 0.99 positivos y no menos 0.99 vamos a escribir - 0.99 y claro esto elevado a la 80 entre 1 - - 0.99 ahora vamos a simplificar esto un poco todo esto es igual a bueno no necesitamos preocuparnos por este 1 entonces nos queda uno menos - 0.99 elevado a la 80 y beno como estamos elevando a un número par esto será positivo entonces nos queda como 0.99 a la 80 y todo eso entre menos y menos es más entonces todo esto entre 1.99 y podríamos simplificar esto aún más pero sí tenemos una calculadora podemos encontrar el valor exacto o mejor dicho el valor más aproximado porque la mayoría de las calculadoras no nos dan el valor exacto cuando elevamos algo a la 80 pero bueno esta es nuestra su hagamos nosotros aquí tenemos una serie definida recursiva mente y es muy útil pensar en cómo se ve miren el primer término es 10 y después el siguiente terminó vamos a ver el segundo término es decir a subíndice todos es igual a subíndice uno por nueve décimas entonces el siguiente terminó es igual al término anterior por nueve décimas entonces es igual a 10 x 9 entre 10 y el siguiente terminó es igual al segundo término por nueve décimos entonces 10 x 9 entre 10 al cuadrado pero de esta forma no está escrito como una serie xeon métricas finitas entonces digamos que queremos la suma la suma de los primeros de los primeros treinta ternas queremos la suma de los primeros 30 termina entonces como seris bueno estamos buscando ese subíndice 30 entonces la suma de los primeros 30 términos es igual a el primer término por 1 - la razón común elevada a la todo eso entre 1 - la razón común entonces uno menos nueve décimos es undécimo dividimos entre undécimo y eso es lo mismo a que si multiplicamos por cien entonces esto es igual a 100 x 1 - nueve décimos elevado a la 30a elevamos a la 30 los nueve décimos no solamente el número 9 pues bueno ahí lo tiene