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Describir relaciones numéricas con identidades polinomiales

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es usar lo que sabemos sobre los polinomios y cómo manipularlos y lo que hemos hablado acerca de si dos polinomios son iguales entre sí para todos los valores de la variable en la que están escritos si es que estamos tratando con una identidad polinomiales y vamos a usar esas habilidades para demostrar algunas propiedades de las relaciones entre los números así que si tuviera que enumerar algunos enteros podría decir 0 1 2 3 4 5 y si tuviera que enumerar los cuadrados de estos números crear una sucesión de cuadrados enteros bueno 0 al cuadrado es igual a 0 1 al cuadrado es 1 2 al cuadrado es 4 3 al cuadrado es 9 4 al cuadrado es 16 5 al cuadrado es 25 y por supuesto podríamos seguir adelante en cualquier caso pero lo primero en lo que quiero que pienses antes de que incluso escriba un polinomio o intente construir uno es mirar esta sucesión de enteros cuadrados puedes ver algún patrón en términos de la diferencia entre los términos de esta sucesión de enteros cuadrados muy bien pensemos en esto juntos para ir de 0 a 1 sumamos 1 para ir de 14 sumamos 3 para pasar de 49 sumamos 5 para pasar de 9 a 16 sumamos 7 parece que aquí hay un patrón a medida que avanzamos hacia los términos sucesivos de esta sucesión de enteros cuadrados estamos sumando números impares crecientes entonces supongo que si sumó 9 aquí que es el próximo número impar voy a llegar a 25 y ese es el caso y podrías probar eso bueno qué pasa si sumo 11 cuál sería el siguiente número que voy a obtener es 36 que es el cuadrado de 6 pero cómo podemos sentirnos seguros de que esto siempre sea verdad de que esto nunca falla bueno una forma de hacerlo es pensar un poco más en general y ahí es donde nuestra álgebra y nuestro conocimiento de los polinomios será útil así que digamos que vamos hasta el final y estamos hablando de forma general tenemos el número n y luego el siguiente número va a ser n 1 y luego si pensamos en cuáles serían los términos correspondientes en la sucesión de los cuadrados enteros bueno eso sería cuando lo elevamos al cuadrado cuando lleguemos a n obtendremos n al cuadrado y cuando lleguemos a n 1 tendremos n más 1 al cuadrado y veamos si podemos pensar cuál es la diferencia entre estas dos cosas la diferencia entre 25 y 16 69 la diferencia entre 16 y 97 así que pensemos en cuál es la diferencia entre n + 1 al cuadrado y n al cuadrado y como escribimos eso como un polinomio bueno solo será n 1 al cuadrado menos n al cuadrado y ahora veamos si podemos reescribir esto manipularlo algebraica mente para que podamos establecer una identidad polinomio que describa este patrón que acabamos de ver entonces voy a resolver n más 1 al cuadrado así que esto va a ser en el cuadrado más 2 n 1 y luego tenemos este - n al cuadrado aquí entonces menos n al cuadrado y así vemos que en el cuadrado menos en el cuadrado se cancela y podemos reescribir todo lo que tenemos aquí como n 1 al cuadrado - n cuadrada esta es realmente la diferencia entre los términos sucesivos en nuestra sucesión de enteros cuadrados que va a ser igual a 12 n 1 para cualquier n que sea entero bueno para cualquier entero n cuanto es 12 n 1 y especialmente aquí estamos tratando con los enteros positivos bueno para cualquier entero n este va a ser un entero impar si tomas cualquier entero y lo multiplicas por 2 esta parte va a ser par pero luego le sumas 1 y obtendrás un entero impar y también puedes ver que esto aumenta en 2 a medida que aumenta entonces cuando pasas de un entero impar sumas 2 al siguiente entero impar 2 al siguiente enter impar que es exactamente lo que se describe aquí eso está muy bien acabamos de usar un poco de álgebra un poco de lo que sabemos sobre las identidades polinomiales para mostrar que la diferencia entre los términos sucesivos en esta sucesión de enteros cuadrados que tenemos aquí va a ser igual a un número impar que va a ir aumentando