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Contenido principal

Gráficas de polinomios

Analiza polinomios para bosquejar sus gráficas.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

El comportamiento en los extremos de una función f describe el comportamiento de su gráfica en las "orillas" del eje x. Algebraicamente, el comportamiento en los extremos se determina con las siguientes dos preguntas:
  • Cuando x, right arrow, plus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
  • Cuando x, right arrow, minus, infinity, ¿a qué se aproxima f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo sobre el comportamiento de polinomios en los extremos.
Los ceros de una función f corresponden a las interseccciones de su gráfica con el eje x. Si f tiene un cero de grado impar, su gráfica cruza el eje x en ese valor de x. Si f tiene un cero de grado par, su gráfica toca el eje x en ese punto.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo de ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección utilizaremos las características anteriores para analizar y bosquejar gráficas de polinomios. Después utilizaremos esas gráficas para determinar los intervalos poitivos y negativos del polinomio.

Analizar funciones polinomiales

Ahora analizaremos varias características de la gráfica del polinomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Encontrar la intersección con el eje y

Para encontrar la intersección con el eje y de la gráfica de f, podemos calcular f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
La intersección con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis es left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Encontrar intersecciones con el eje x

Para encontrar las intersecciones con el eje x, podemos resolver la ecuación f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
3x2=0ox+2=0Propiedad del producto por cerox=23ox=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{o}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Propiedad del producto por cero}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{o}\qquad x&=-2\end{aligned}
Las intersecciones con el eje y de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis son left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Nuestro trabajo también muestra que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado 1, y que minus, 2 es un cero de grado 2. Esto significa que la gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, y toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Encontrar el comportamiento en los extremos

Para encontrar el comportamiento en los extremos, podemos examinar el término principal cuando la función está escrita en forma estándar.
Escribamos la ecuación en forma estándar
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
El término principal del polinomio es start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, así que el comportamiento en los extremos de la función f es el mismo que el comportamiento en los extremos de 3, x, cubed.
Puesto que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es: cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Bosquejar una gráfica

Podemos utilizar lo que hemos encontrado para bosquejar la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Empecemos con el comportamiento en los extremos:
  • Cuando x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity
  • Cuando x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity
Esto significa que en las "orillas" la gráfica es parecida a la gráfica de y, equals, x, cubed.
Ahora podemos agregar lo que sabemos sobre intersecciones con el eje y:
  • La gráfica toca el eje x en left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, pues minus, 2 es un cero de grado par.
  • La gráfica cruza el eje x en left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, pues start fraction, 2, divided by, 3, end fraction es un cero de grado impar.
Finalmente, terminemos el proceso al trazar la intersección con el eje y en left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis y llenar los huecos con una curva fluida y continua.
Aunque no sabemos exactamente los puntos donde la gráfica cambia, ¡ya tenemos una buena idea de la forma general de gráfica de la función!

Intervalos positivos y negativos

Ahora que tenemos un bosquejo de la gráfca de f, es sencillo determinar los intervalos en los cuales f es positiva, y en los cuales es negativa.
Vemos que f is positiva cuando x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, y negativa cuando x, is less than, minus, 2, o minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Comprueba tu comprensión

1) Ahora trabajarás por tí mismo en hacer un bosquejo de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.
a) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis con el eje y?
left parenthesis, 0,
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

c) ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis con el eje x?
Escoge 1 respuesta:
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d) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:
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2) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
Escoge 1 respuesta:
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¿Quieres unirte a la conversación?

  • Avatar spunky sam blue style para el usuario Francisco Mendoza
    La respuesta b está incorrecta, al tener el termino del polinomio de mayor grado impar (3), las ramas de gráfico deberían ser opuestas; por lo tanto, las respuesta dada como correcta, la 2ª opción deberían ser que la rama izquierda tiende a − ∞.
    (6 votos)
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  • Avatar mr pants teal style para el usuario JONATH
    En el punto B, las opciones que propone no son coherentes con la respuesta, ya que la respuesta es: Cuando inf + entonces g(x) +, cuando inf - entonces g(x) -, si observamos las opciones, no existe una que sea acorde a la respuesta correcta.
    (4 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Méndez Neri José Ricardo
    En la pregunta 1b) hay dos opciones de respuesta idénticas y no hay respuesta correcta. Se intuye que hay un error (y lo hay)
    Si x tiende a infinito g(x) tiende a infinito y si xtiende a menos infinito, g(x) tiende a menos infinito ya que la función es polinomial de grado impar con coeficiente positivo para el término de mayor grado.
    (3 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario 1010032387 Arias Parada
    ¿Es verdadero o falso que la gráfica de cualquier polinomio de grado impar (el mayor exponente es impar) tiene al menos una tangente horizontal?
    (1 voto)
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  • Avatar mr pink orange style para el usuario Daniel Mora Mora
    si y vale x (x-2) yt q vale
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style para el usuario diegoUMsaucedo
    yo no entiendo por que se lian tanto si es tan simple como sustituir en la formula, por ejemplo en el segundo problema sustituimos x=4 en (2-x)(x+1)^2

    resolvemos
    f(x)=(2-(4))(4+1)^2
    f(x)=(2-4)(16+1)
    f(x)=(-2)(17)
    f(x)=-34

    vemos que al sustituir x por un numero positivo f(x) tiende a un número negativo

    ahora sustituimos por -4
    f(x)=(2-(-4))(-4+1)^2
    f(x)=(2+4)(16+1)
    f(x)=(6)(17)
    f(x)=102

    aquí vemos que cuando x tiende a menos infinito, f(x) tiende a mas infinito.
    (1 voto)
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    • Avatar female robot ada style para el usuario Angelica Chen
      Se puede hacer algo asi, pero muchas curvas son mas complicadas. Por ejemplo, una curva de tipo x² solo habre en una direccion, pero x³ puede subir, bajar un poco, y seguir subiendo. Si puedes, haz la gráfica de f(x)=x⁴-4x² y puedes ver que escogiendo solo dos valores para ensayar no da una representacion correcta, si los valores son entre 0 y 4. Si entiendes?
      (1 voto)
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