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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 5

Lección 2: Intervalos postivos y negativos de polinomios
Matemáticas
Álgebra 2
Gráficas de polinomios
Intervalos postivos y negativos de polinomios
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Intervalos postivos y negativos de polinomios

Google Classroom
Aprende acerca de la relación entre los ceros de un polinomio y los intervalos en los que es positivo o negativo.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Los ceros de un polinomio f corresponden a las intersecciones con el eje x de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Por ejemplo, consideremos f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Como los ceros de la función f son minus, 3 y 1, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis tiene intersecciones con el eje x en left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo Ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

Se muestra un plano de coordenadas x y con un punto en (tres negativo, cero) y un punto en (uno, cero).
Aunque las Intersecciones con el eje x son una característica importante de la gráfica de una función, necesitamos algo más para producir un buen bosquejo.
Saber el signo de un polinomio entre dos ceros puede ayudarnos a llenar los huecos.
En este artículo aprenderemos cómo determinar los intervalos en los que un polinomio es positivo o negativo, y cómo conectar eso con la gráfica.

Intervalos positivos y negativos

El signo de un polinomio entre cualesquiera dos ceros consecutivos es siempre positivo o siempre negativo .
Un polinomio etiquetado como y es igual a f de x está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el eje x en uno negativo, cero. Se curva hacia abajo y pasa por el eje x en uno, cero. Se curva hacia arriba y pasa por el eje x en tres, cero. Desde infinito negativo hasta uno negativo en el eje x, la sección debajo del eje x está sombreada y etiquetada como negativa. Desde uno negativo hasta uno en el eje x está sombreado sobre el eje x y etiquetado como positivo. Desde uno hasta tres en el eje x está sombreado debajo del eje x y etiquetado como negativo. Desde tres hasta infinito positivo en el eje x, la región está sombreada sobre el eje x y etiquetada como positiva.
Por ejemplo, considera la gráfica de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
De la gráfica vemos que f, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre ...
  • ...negativa cuando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
  • ...positiva cuando minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
  • ...negativa cuando 1, is less than, x, is less than, 3.
  • ...positiva cuando 3, is less than, x, is less than, infinity.
Sin embargo, no es necesario que una función polinomial cambie de signo entre ceros.
Un polinomio etiquetado como y es igual a g de x está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando el eje x en (dos negativo, cero) y se curva hacia abajo. Se curva hacia arriba y pasa por el eje x en (cero, cero). Desde infinito negativo hasta dos negativo en el eje x, la sección debajo del eje x está sombreada y etiquetada como negativa. Desde dos negativo hasta cero en el eje x está sombreado debajo del eje x y etiquetado como negativo. Desde cero hasta infinito en el eje x está sombreado sobre el eje x y etiquetado como positivo.
Por ejemplo, considera la gráfica de la función g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
De la gráfica vemos que g, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre ...
  • ...negativa cuando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
  • ...negativa cuando minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
  • ...positiva cuando 0, is less than, x, is less than, infinity.
Observa que g, left parenthesis, x, right parenthesis no cambia signo cerca de x, equals, minus, 2.

Determinar intervalos positivos y negativos de polinomios

Encontremos los intervalos en los que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared es positiva y los intervalos en los que es negativa.
Los ceros de f son minus, 3 y 1. Esto crea tres intervalos en los cuales el signo de f es constante:
Se muestra un plano de coordenadas x y con un punto en (tres negativo, cero) y un punto en (uno, cero). Una línea punteada vertical pasa por el punto en (tres negativo, cero). Una línea punteada vertical pasa por el punto en (uno, cero).
Encontremos el signo de f para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Sabemos que f es siempre postiva o siempre negativa en este intervalo. Podemos determinar cuál es el caso al evaluar f para algún valor en este intervalo. Como minus, 4 está en este intervalo, obtengamos f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Como únicamente nos interesa el signo del polinomio ahí, no necesitamos evaluarlo completamente:
f(x)=(x+3)(x−1)2f(−4)=(−4+3)(−4−1)2=(−)(−)2Evaluˊa solo el signo de la respuesta.=(−)(+)Negativo al cuadrado es positivo.=−Negativo por positivo es negativo.\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Evalúa solo el signo de la respuesta.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Negativo al cuadrado es positivo.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Negativo por positivo es negativo.}}} \end{aligned}
Aquí vemos que f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis es negativo, así que f, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre negativa para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Podemos repetir este proceso para los demás intervalos.
Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
IntervaloValor de algún f, left parenthesis, x, right parenthesis específico en el intervaloSigno de f en el intervaloConexión con la gráfica de f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0negativoBajo el eje x
minus, 3, is less than, x, is less than, 1f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0positivoSobre el eje x
1, is less than, x, is less than, infinityf, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0positivoSobre el eje x
Esto es consistente con la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Se muestra un plano de coordenadas x y con un punto en (tres negativo, cero) y un punto en (uno, cero). Una línea punteada vertical pasa por el punto en (tres negativo, cero). Una línea punteada vertical pasa por el punto en (uno, cero). Desde infinito negativo hasta tres negativo en el eje x, la sección debajo del eje x está sombreada y etiquetada como negativa. Desde tres negativo hasta uno en el eje x está sombreado sobre el eje x y etiquetado como positivo. Desde uno hasta infinito en el eje x está sombreado sobre el eje x y etiquetado como positivo.

Comprueba tu comprensión

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis tiene ceros en x, equals, minus, 6 y x, equals, minus, 1.
¿Cuál es el signo de g en el intervalo minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?
Escoge 1 respuesta:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis tiene ceros en x, equals, minus, 5, x, equals, 2 y x, equals, 3.
¿Cuál es el signo de h, left parenthesis, x, right parenthesis en el intervalo minus, 5, is less than, x, is less than, 2?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío

3*) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?
Escoge 1 respuesta:

Determinar intervalos positivos y negativos a partir de un bosquejo de la gráfica

Otra manera de determinar los intervalos en los cuales un polinomio es positivo o negativo es hacer un bosquejo de su gráfica, de acuerdo al comportamiento del polinomio en los extremos y las multiplicidades de sus ceros.
Lee nuestro artículo Gráficas de polinomios para más detalles.

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