Simplificar expresiones racionales: factores monomiales comunes

tengo una expresión racional aquí y mi objetivo es simplificar la y mientras hago digamos esta simplificación quiero asegurarme de que la expresión que obtengamos sea algebraica mente equivalente así que habrá ciertos valores de x para los que esta expresión simplificada que encontremos no deberá estar definida verdad así que por lo que digamos tendremos que restringir nuestra expresión simplificada y no considerar dichos valores así que como siempre te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema por tu propia cuenta muy bien ahora vamos a resolverlo todos juntos primero tenemos que preguntarnos para qué valores de x esta expresión no está definida y realmente lo único que tenemos que fijarnos es en el denominador verdad tenemos que pensar cuando es que el denominador se anula verdad porque no podemos dividir entre 0 entonces aquí es muy fácil de ver el único valor de x para el cual el denominador se anula es x igual a cero así que x no puede ser cero verdad muy bien ahora lo que podemos observar es que tanto el numerador como el denominador tenemos que todos estos coeficientes son divisibles entre 7 verdad y todos tienen al menos una equis entonces digamos tanto el numerador como denominador son divisibles entre 7x así que vamos a factorizar 7x en el numerador y en el denominador verdad aquí tenemos x 7 x en el numerador tendrá que multiplicar aquí a 2 x verdad 7 x x 2x son 14 x cuadrada más 1 verdad más 17 x más 1 perdón 7 x x 1 nos da 7 x ahora en el denominador será 7 x x 2 para que nos dé 14 x muy bien y recuerden tenemos que cargar con nuestra restricción x no puede ser 0 para que mantengamos estas expresiones algebraica mente equivalentes muy bien ahora podemos observar que este 7x entre 7 x pues se hace se hace una verdad es decir podemos cancelarlo de esta expresión y entonces obtenemos que 2x + 1 entre 2 es la expresión digamos equivalente a estas anteriores verdad pero por supuesto tenemos que poner que x sea distinto de 0 y estos aquí sí es importante verdad porque esta expresión que tenemos aquí 2x 1 / 2 siempre está definida verdad siempre está definida incluso en 0 sin embargo no puede ser 0 pues queríamos que fuera algebraica mente equivalente a esta expresión de antes verdad entonces esto puede parecer un detalle sutil por es bastante importante por ejemplo si esta de aquí fuera una función verdad entonces esta función no estaría definida en x igual a 0 y entonces para que esta de aquí y esta de aquí abajo fueran exactamente la misma función deben tener el mismo dominio así que sí sino que si no ponemos esta restricción entonces si serían equivalentes salvo en x igual a 0 pero queremos que sean algebraica mente equivalente es verdad entonces hay que poner esta restricción y todavía podríamos simplificar esta esta expresión de aquí por ejemplo podemos dividir entre 2 estos dos suman 2 y entonces obtendríamos más vamos a ponerlo así 2x entre 2 sería x + 1 entre 2 que es un medio verdad otra vez con la restricción de que x no puede ser 0 muy bien hagamos otro ejercicio ok entonces tenemos este ejemplo este ejemplo parece más complicado verdad pero vamos a tratar de hacer exactamente lo mismo vamos a simplificar esta expresión pero vamos a tratar de ser consistentes con los puntos que tenemos que restringir para que las expresiones que vayamos obteniendo sean algebraica mente equivalentes muy bien entonces vamos primero a tratar de factorizar el numerador y el denominador y ahí veremos cuáles son los puntos que tenemos que ir restringiendo verdad entonces aquí podemos ver que todos estos coeficientes son divisibles entre 10 y 7 verdad entonces podríamos factorizar 17 y también podemos ver que todos estos términos tienen al menos una seta cuadrada verdad entonces podríamos factorizar 17 se está cuadrada verdad y en el numerador por ejemplo tendríamos que multiplicar por 17 st cuadrado por zeta para que nos dé 17 z cúbica una verdad para que 17 se está cuadrada por 12 de 17 z cuadrada y todo esto hay que dividirlo entre otra vez factor izamos 17 se está cuadrada y multiplicamos por quién bueno multiplicamos por 2 z verdad 12 está por 17 se está cuadrada nos da 34 z cúbica y aquí hay que poner menos 3 verdad 3 por 17 nos da 51 y tenemos está cuadrada y este signo menos entonces aquí tenemos ya factor izada esta expresión verdad y aquí podemos rápidamente ver cómo es que hay que restringir tenemos que pensar cuando es que el denominador se anula y esto es cuando se está es igual a 0 gracias a éste se está cuadrada verdad se está igual a 0 es decir se está no puede ser 0 en esta expresión y ahora pensemos cuando es que este otro factor se anula es decir cuando es que 2 c - 3 nos da 0 si sumamos 3 de ambos lados tenemos 12 está igual a 3 y si dividimos entre 2 de ambos lados tendremos 7 igual a 3 medios entonces tampoco puede ser que z tome el valor de tres medios muy bien estas son las restricciones que debemos considerar muy bien entonces si continuamos podemos ver que estos dos factores se pueden cancelar y obtenemos la expresión zeta más uno dividido entre dos z menos tres y otra vez esto debe tener las mismas restricciones verdad z tiene que ser distinto de cero y podríamos poner que z es distinto de tres medios sin embargo esta restricción ya está implícita aquí en esta expresión ya que el denominador es 2 z menos 3 y justo en tres medios es cuando se anula entonces bien podríamos no ponerla quizás voy a tratar de ser redundante vamos a poner que z sea distinto de tres medios aunque simplemente de la expresión que ya tiene aquí queda claro que no puede ser tres medios verdad entonces la primera restricción es importante porque ésta no es obvia a partir de esta expresión sin embargo es importante ponerla para que tengamos expresiones algebraica mente equivalentes