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Simplificar expresiones racionales: términos de mayor grado

CCSS.Math:
HSA.APR.D

Transcripción del video

vamos a tratar de simplificar la siguiente expresión racional así que te invito a que hagas una pausa como siempre y trates de hacerlo por tu propia cuenta porque en unos momentos vamos a hacerlo todos juntos muy bien entonces lo primero que digamos podríamos tratar de hacer digo porque no sé las expresiones que tenemos aquí parecen sugerir nos que todo esto se puede factorizar y quizás haya factores en común que después podamos cancelar verdad así que por ejemplo no debería digamos asustarte que aquí vemos una equis elevada a la cuarta verdad simplemente en principio puede parecer difícil pero podemos utilizar ciertos patrones para ver cómo factorizar el numerador por ejemplo entonces este tipo de patrones a los que me refiero sería algo de este estilo por ejemplo qué tal que no hubiéramos x 4a sino x cuadrada 8 x 7 si hubiéramos digamos esto déjenme pintarlo mejor esto es 8x verdad si viéramos esto uno se preguntaría bueno cómo podríamos factorizar lo es decir pensamos en dos números que multiplicados nos den 7 y sumados nos den 8 y eso claramente es más 7 más una verdad 7 por 1 771 es 8 ahora bien en vez de pensar en x pensemos en x cuadrada que es como lo que aparecería aquí verdad aquí tendríamos una x cuadrada y x cuadrada de elevada al cuadrado sería x a la cuarta verdad entonces en realidad si pensamos con x cuadrada lo que tendríamos es x cuadrada más 7 que multiplica a x cuadrada más 1 verdad entonces quizás si no te gusta pensarlo como digamos de esta forma quizás te gustaría hacer una sustitución digamos llamemos a igual a x cuadrada verdad entonces aquí lo que tenemos es cuadrada más 8 a más 7 verdad y entonces ahora si usamos lo que ya conocemos verdad podríamos factorizar lo como a más 7 x + 1 y luego podríamos hacer de nuevo la sustitución de que a es x cuadrada y obtenemos justamente lo que tenemos aquí verdad entonces esta es una buena factorización del numerador vamos a ver qué ocurre ahora con el denominador entonces aquí podemos ver que estos dos términos tienen un factor de 3x así que vamos a poner 3x y esto multiplica a x a la cuarta menos 1 muy bien entonces hasta ahora no parece dejamos ayudar mucho esta factorización que hemos obtenido pero todavía podemos simplificar la expresión x a la cuarta menos 1 porque porque esto es una diferencia de cuadrados recordemos que es una diferencia de cuadrados es cuando tenemos a cuadrada menos 1 iguala a más 1 por a menos 1 por ejemplo verdad aquí podría ser otro cuadrado entonces aquí nosotros tenemos x a la cuarta menos 1 verdad simplemente decimos que hace x cuadrada y entonces tendríamos x cuarta menos uno y ese factor iza de esta forma entonces como como lo escribiríamos ya digamos tomando a iguala x cuadrada bueno vamos a dejar igual el numerador x cuadrada más 7 que multiplica a x cuadrada más 1 todo esto dividido entre 3 x x y ahora sí tendríamos x cuadrada más 1 x cuadrada más 1 y multiplicada x cuadrada menos 1 muy bien entonces esta es la forma de factorizar x 4 -1 verdad entonces estos dos factores se pueden cancelar y entonces obtendríamos la expresión x cuadrada más 7 todo esto dividido entre 3 x por equis cuadrada menos 1 ahora bien algo que hay que tomar muy en cuenta es aquellos puntos en donde estas estas expresiones no es definidas verdad por ejemplo aquí no está definida para x0 aquí x tiene que ser distinta de 0 y también x tiene que ser distinta de aquellos valores que anule esto es decir x no puede ser tal que x cuadrada menos 1 sea 0 o en otras palabras x no puede ser ni uno ni menos uno bien entonces otra bueno aquí faltaría ver para qué valores de x x cuadrada más 1 se anula verdad sin embargo veamos que x cuadrada es un número mayor que 0 mayor o igual que 0 y si le sumamos 1 entonces esto es un número mayor o igual que 1 entonces nunca se anula verdad así que estos dos factores los podemos cancelar sin ningún sin ningún problema entonces estas dos estas más bien serían tres restricciones tendríamos que agregar las a esta expresión sin embargo no tenemos que serían redundantes verdad porque aquí ya estamos dividiendo entre x eso inmediatamente nos dice que x no puede ser 0 y también dividimos entre x cuadrada menos 1 quiere decir que justamente x no puede ser ni uno ni menos uno entonces en realidad aunque podríamos reescribir estas restricciones están dadas implícitamente ya en esta expresión muy bien y ahora si uno quisiera todavía podría no sé distribuir este producto verdad entonces esto sería x cuadrada más 7 todo esto dividido entre 3 x cúbica menos 3 x así que todas estas expresiones son equivalentes desde el punto de vista algebraico y hemos terminado