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Problema verbal sobre ecuaciones racionales: eliminar soluciones

CCSS.Math:
HSA.CED.A.1

Transcripción del video

tenemos dos mangueras que podemos usar para llenar de agua a un estanque usando ambas mangueras nos tardamos 12 minutos en llenar el estanque una de las mangueras es más ancha que la otra y para llenar el estanque usando sólo esa manguera se tarda diez minutos menos que si usamos sólo la otra manera cuánto tiempo se tardaría cada manguera en llenar el estanque si usamos sólo una manguera que entonces tenemos nuestro estanque y tenemos una manguera para qué y otra manera por a qué y si usamos las dos mangueras para llenar el estanque nos estamos tardando 12 minutos pero lo que queremos saber es cuánto tiempo se tarda cada una de estas mangueras en llenar el estanque si dejamos de usar la otra manera hoy sabemos que además una de estas maneras es más rápida que la otra y se tarda diez minutos menos en llenar el estanque de manera rápida rápida y digamos que se tarda no sé efe minutos minutos en llenar una vez él es tan que se tarda efe minutos cada vez que llenar el estanque y también tenemos la manera lenta y esta manera lenta se tarda diez minutos más en llenar el estanque entonces y la rápida aceptada este minuto se llena el estanque entonces la lenta se tiene que tardar efe más de 10 minutos minutos en llenar el estanque es que qué entonces podemos pensar que éstas son razones proporcione de cuantos minutos se tarda cada manguera por cada estanque que llene pero si lo que queremos es poder sumar estas dos cantidades estaría mucho mejor tener la proporción del estanque que llena cada una de las mangueras cada minuto que y para obtener esto lo único que tenemos que hacer es pensar que tenemos efe entre uno porque en realidad si tenemos eso tenemos que se tarda efe minutos por cada un estanque lleno y ya que lo tenemos de esta forma podemos tomar el recíproco que es uno / efe y de este lado lo que nos queda son estanques por minuto y entonces lo que nos queda es que fracción del estanque se llena cada minuto entonces esto es lo mismo que decir que llenemos 1 / efe partes del estanque está en que cada minuto me minuto es bueno de hecho lo podemos pensar cómo que llena un estanque cada efe minutos o que llena una efe estima parte del stand que por cada minuto que pasa y podemos aplicar exactamente lo mismo con la manguera lenta tenemos que la manera lenta y llena uno / efe más y es parte del stand que están que por cada minuto cada minuto que pasa bueno voy a borrar este estanque para tener más espacio y entonces ya tenemos las velocidades con las que las mangueras llenan el stand que ahora algo que nos gustaría también tiene es la velocidad con la que las dos mangueras llenan el stand que están trabajando juntos y eso pues es simplemente la suma de estas velocidades o sea si una manguera llena una fp encima parte de un estanque en un minuto y la otra manera tiene uno / efe más 10 parte del stand que en un minuto cuando ponemos a las dos mangueras a llenar el estanque semana llena a uno / efe mes 1 / efe más y es parte del stand que no entonces van a llenar esta parte de él es que por cada minuto pero porque queríamos sacar esta velocidad pues porque nosotros tenemos por aquí que usando ambas mangueras nos trabamos 12 minutos en llenar el estanque ok tenemos aquí que usando bombas mangueras nos tardamos 12 minutos 12 minutos esto lo que nos dice es que junta a las dos maneras la rápida y la lenta se tardan 12 minutos minutos cada vez que llenan el estanque que tardan dos minutos por cada vez que llenan el estanque pero nos conviene sacar la velocidad con la que se llena el estanque entonces tomamos el inverso y nos quedan que para llenar una vez el estanque que se tarda 12 minutos 12 minutos y eso es lo mismo a decir que llena una doceava parte del estanque por minuto lo cual tiene todo el sentido del mundo no sé si se tarda 12 minutos en llenar el estanque pues en un minuto seguro llena una doceava parte del estanque que entonces esta es la velocidad con la que las dos mangueras trabajando junta llenan el estanque pero eso es lo mismo que teníamos por aquí así es que estas dos cantidades tienen que ser iguales esta cosa de aquí que la sacamos con esta información tiene que ser igual un doceavo de es tan que por minuto a minuto ambas expresiones representan la velocidad con la que las dos mangueras llenan el stand entonces tienen que ser iguales y por lo tanto ya tenemos una ecuación con una sola incógnita es la incógnita ep tenemos uno entre este más uno / efe más de diez iguala uno entre 12 y si resolvemos esta ecuación y encontramos cuánto tiene que valer efe habremos encontrado con qué velocidad la manera rápida a llenar el estanque y entonces ya nada más tenemos que sumarle diez minutos para encontrar con qué velocidad la manguera lenta llenar el estanque así es que pues vamos a resolver esta ecuación entonces vamos a movernos para arriba para tener espacio para hacer la cuenta y aquí para encontrar a efe queremos sacarlo primero del denominador así es que vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por efe por temas 10 por más que entonces este término por efe por efe mas 10 la f se cancela con la f nos queda simplemente esté más 10 y luego este término p por efe mas 10 por 1 entre firmas 10 entonces efe +10 se cancela con el que más diez nos queda simplemente una f y eso es igual a 1 entre 12 por efe por efe mas 10 pero sabes que de una vez por todas vamos a deshacernos de este 1 entre 12 para que no haya fracciones entonces vamos a multiplicar por 12 de los dos lados de la ecuación 12 por esquemas 10 y 12 por el pp y eso es igual a el 12 se cancela con el 12 y nos queda fp por efe mas 10 x 10 que ya ahora si aplicamos la propiedad distributiva lo que nos queda es 12 por efe doce por el pp nada 12 x 10 que es 120 nada 12 por efe y eso es igual a efe por el pp que es cuadrada cne a efe por 10 que es 10 efe aunque entonces ya tenemos una ecuación cuadrática porque tenemos aquí es que al cuadrado pero en puros términos de fp y algunos otros números entonces aquí ya sabemos exactamente cómo encontrar efe y para llegar a la f lo primero que tenemos que hacer es poner todos los términos de un solo lado para que nos quede una expresión cuadrática igual a un cero así es que vamos a restar de los dos lados todo lo que se encuentre por aquí hay menos 12 menos 120 menos otros 12 pero bueno este menos 12 f y stem -12 si lo sumamos nos queda menos 24 efe y es que vamos a poner lo menos 24 efe y entonces tenemos que respetar lo mismo desde otro lado no quiero estar menos 24 menos 120 quedado cf +12 efe - 24 f 310 luego 120 menos 120 es un cero y eso es igual a efe cuadrada 10 ep - 24 efe eso es menos 14 y finalmente menos 120 menos 120 que ahora ya que lo tenemos así de esta forma me lo que vamos a hacer es factorizar estamos buscando dos números que cuando los multiplicamos nos da menos 120 y cuando los humanos nos da menos 14 y ya sé exactamente qué números son son menos veinte y seis menos que esto es igual a éste -20 por más 6 porque menos 20 por 6 es menos 120 y menos 20 +6 es menos 14 que entonces esta expresión cuadrática es la multiplicación de estos dos y esta multiplicación es igual a cero si sólo si alguno de estos dos es igual a cero entonces nosotros sabemos que o efe - 20 es igual a cero o efe na 6 es igual a cero gay pero tiene que suceder alguna de estas dos cosas para que su multiplicación sea igual a cero ahora en esta ecuación podemos man 20 de los dos lados del igual y lo que nos queda es que efe tiene que ser igual a 20 y de este lado estamos seis de los dos lados y nos quedan que efe tiene que ser igual al menos seis que entonces si uno / efe más uno entre firmas 10 es igual a 12 o eta es igual a 20 o fp es igual al menos seis pero en este momento recordemos que significa ep/efe es cuántos minutos se tarda la manera rápida en llena todo el stand que entonces no tiene sentido pensar que efe puede ser igual al menos 62 a una manera no se puede tardar menos seis minutos en llenar un stand que no entonces las fuerzas efe tiene que ser igual a 20 may efe es igual a 20 entonces encontramos cuantos minutos se tarda la manera rápida en llenar el estanque y ya nada más nos falta encontrar cuantos minutos se tarda la manguera lenta pero la manera lenta aceptada efe nada diez minutos así es que en la manguera lentas tarda 20 más 10 o sea 30 minutos minutos entonces la manera rápida se tarda 20 minutos en llenar el estanque ellas olite y la manera lenta se tarda 30 minutos en llenar todo el stand que ella solita