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Problema verbal sobre ecuaciones racionales: eliminar soluciones

CCSS.Math:
HSA.CED.A.1

Transcripción del video

tenemos dos mangueras que podemos usar para llenar de agua a un estanque usando ambas mangueras nos tardamos 12 minutos en llenar el estanque una de las mangueras es más ancha que la otra y para llenar el estanque usando solo esa manguera se tarda 10 minutos menos que si usamos sólo la otra manguera cuánto tiempo se tardaría cada manguera en llenar el estanque si usamos sólo una manguera ok entonces tenemos nuestro estanque y tenemos una manguera por aquí y otra manguera por aquí y si usamos las dos mangueras para llenar el estanque nos estamos tardando 12 minutos pero lo que queremos saber es cuánto tiempo se tarda cada una de estas mangueras en llenar el estanque si dejamos de usar la otra manguera que ya sabemos que además una de estas mangueras es más rápida que la otra y se tarda 10 minutos menos en llenar el estanque ok tenemos la manera rápida rápida y digamos que se tarda no sé efe minutos 2 en llenar una vez él es tan que se tarda efe minutos cada vez que llena el estanque y también tenemos la manguera lenta y esta manera lenta se tarda 10 minutos más en llenar el estanque entonces y la rápida se tarda efe minutos en llenar el estanque entonces la lenta se tiene que tardar efe más 10 minutos minutos en llenar el estanque ok entonces podemos pensar que estas son razones proporciones de cuántos minutos se tarda cada manguera por cada estanque que llenan pero si lo que queremos es poder sumar estas dos cantidades estaría mucho mejor tener la proporción del estanque que llena cada una de las mangueras cada minuto ok para obtener eso lo único que tenemos que hacer es pensar que tenemos efe entre 1 porque en realidad si tenemos eso tenemos que se tarda efe minutos por cada un estanque que llena y ya que lo tenemos de esta forma podemos tomar el recíproco que es 1 / efe y de este lado lo que nos queda son estanques por minuto y entonces lo que nos queda es que fracción del estanque se llena cada minuto entonces esto es lo mismo que decir que llenamos 1 / efe partes del estanque del estanque cada minuto minuto entonces bueno de hecho lo podemos pensar como que llena un estanque cada efe minutos o que llena una pésima parte del estanque por cada minuto que pasa y podemos aplicar exactamente lo mismo con la manguera lenta tenemos que la manguera lenta llena 1 / efe más y es partes del estanque estanque por cada minuto cada minuto que pasa bueno voy a borrar este estanque para tener más espacio y entonces ya tenemos las velocidades con las que las mangueras llenan el estanque ahora algo que nos gustaría también tener es la velocidad con la que las dos mangueras llenan el estanque si están trabajando juntas y eso pues es simplemente la suma de estas velocidades o sea si una manguera llena una décima parte de un estanque en un minuto y la otra manguera llena uno / efe 10 parte del estanque en un minuto cuando ponemos a las dos mangueras a llenar el estanque pues van a llenar 1 / efe más 1 / efe más 10 partes del estanque no entonces van a llenar esta parte de él y por cada minuto bueno pero porque queríamos sacar esta velocidad pues porque nosotros tenemos por aquí que usando ambas mangueras nos tardamos 12 minutos en llenar el estanque ok tenemos aquí que usando ambas mangueras nos tardamos 12 minutos ok 12 minutos esto lo que nos dice es que juntas las dos mangueras la rápida y la lenta se tardan 12 minutos minutos cada vez que llenan el estanque qué tardan dos minutos por cada vez que llenar el estanque pero nos conviene sacar la velocidad con la que se llena el estanque entonces tomamos el inverso y nos queda en que para llenar una vez el estanque en que se tarda 12 minutos 12 minutos y eso es lo mismo a decir que llena una doceava parte del estanque por minuto lo cual tiene todo el sentido del mundo no sé si se tarda 12 minutos en llenar el estanque pues en un minuto seguro llenar una doceava parte del estanque ok entonces esta es la velocidad con la que las dos mangueras trabajando juntas llenan el estanque pero eso es lo mismo que teníamos por aquí así es que estas dos cantidades tienen que ser iguales esta cosa de aquí que la sacamos con esta información tiene que ser igual a 12 sea bo que por minuto minuto ambas expresiones representan la velocidad con la que las dos mangueras llenan el estanque entonces tienen que ser iguales y por lo tanto ya tenemos una ecuación con una sola incógnita que es la incógnita f ok tenemos 1 / efe + 1 / efe más 10 igual a 1 entre 12 y si resolvemos esta ecuación y encontramos cuánto tiene que valer f habremos encontrado con qué velocidad la manguera rápida llenar el estanque y entonces ya nada más tenemos que sumarle 10 minutos para encontrar con qué velocidad la manguera lenta llenar el estanque así es que pues vamos a resolver esta ecuación entonces vamos a movernos para arriba para tener espacio para hacer las cuentas aquí para encontrar a efe queremos sacarlo primero del denominador así es que vamos a multiplicar a ambos lados de la ecuación por efe por s más 10 por efe por efe más ok entonces este término por efe por efe 10 la f se cancela con la f y nos queda simplemente este más 10 y luego este término efe por efe mas 10 por 1 / efe 10 entonces efe más 10 se cancela con este más 10 y nos queda simplemente una f y eso es igual a 1 entre 12 por efe por efe mas 10 pero sabes que de una vez por todas vamos a deshacernos de este 1 entre 12 para que no haya fracciones entonces vamos a multiplicar por 12 de los dos lados de la ecuación 12 por efe mas 10 más 12 por efe y eso es igual a el 12 se cancela con el 12 y nos queda efe por efe mas 10 por este mes 10 y ahora si aplicamos la propiedad distributiva lo que nos queda es 12 por efe 12 por efe más 12 por 10 que es 120 más 12 por efe y eso es igual a efe por efe que es ese cuadrado más efe por 10 que es 10 efe ok entonces ya tenemos una ecuación cuadrática porque tenemos aquí f al cuadrado pero en puros términos de f y algunos otros números entonces aquí ya sabemos exactamente cómo encontrar efe y para llegar a la f lo primero que tenemos que hacer es poner todos los términos de un solo lado para que nos quede una expresión cuadrática igual a 10 así es que vamos a restar de los dos lados todo lo que se encuentre por aquí bay menos 12 menos 120 menos otros 12 efe pero bueno este menos 12 efe y este menos 12 efe si lo sumamos nos quedan menos 24 efe así es que vamos a poner lo menos 24 efe y entonces tenemos que restar lo mismo de este otro lado no creo estar menos 24 efe - 120 quedado cf más 12 efe - 24 efe eso es un 0 y luego 120 menos 120 sincero y eso es igual efe cuadrada 10 efe - 24 efe eso es menos 14 y finalmente menos 120 menos 120 y ahora ya que lo tenemos así de esta forma lo que vamos a hacer es factorizar estamos buscando dos números que cuando los multiplicamos nos da menos 120 y cuando lo sumamos nos da menos 14 y ya sé exactamente qué número son son menos 20 y 6 que tenemos que esto es igual efe menos 20 por efe más 6 porque menos 20 por 6 es menos 120 y menos 20 6 es menos 14 ok entonces esta expresión cuadrática es la multiplicación de estas dos y esta multiplicación es igual a cero si y sólo si alguno de estos dos es igual a cero entonces nosotros sabemos qué efe - 20 es igual a 0 efe 16 es igual a 0 ok pero tiene que suceder alguna de estas dos cosas para que su multiplicación sea igual a cero ahora en esta ecuación podemos sumar 20 de los dos lados del igual y lo que nos queda es que f tiene que ser igual a 20 y de este lado restamos 6 de los dos lados y nos queda efe tiene que ser igual a menos 6 ok entonces si uno / efe más 1 / efe más 10 es igual a 12 o efe es igual a 20 o efe es igual a menos 6 pero en este momento recordemos que significa efe efe es cuántos minutos se tarda la manguera rápida en llenar todo el estanque entonces no tiene sentido pensar que f puede ser igual a menos 6 o sea una manguera no se puede tardar menos seis minutos en llenar un estanque no entonces las fuerzas efe tiene que ser igual a 20 ok efe es igual a 20 entonces ya encontramos cuántos minutos se tarda la manera rápida en llenar el estanque y ya nada más nos falta encontrar cuántos minutos se tarda la manguera lenta pero la manguera lenta se tarda efe más 10 minutos así es que en la manguera lenta se tarda 20 10 o sea 30 minutos minutos entonces la manguera rápida se tarda 20 minutos en llenar el estanque ella solita y la manguera lenta se tarda 30 minutos en llenar todo el estanque ella solita