Multiplicar y dividir expresiones racionales: monomios

en esta ocasión tenemos dos expresiones en la primera estamos multiplicando dos expresiones racionales y aquí abajo estamos dividiendo dos expresiones racionales una entre la otra y lo que te invito a hacer es pausar el vídeo y ver en qué se convierten estas expresiones cuando las multiplique eso cuando las divididas no lo sé a lo mejor tendrás que simplificar un poco todo esto y también quiero que pienses que restricciones le tienes que poner a los valores de x para que tu expresión resultante sea algebraica mente equivalente a tu expresión original así que pausa el vídeo ok resolvamos esto juntos para que veas a lo que me refiero así que veamos la primera que nos va a quedar déjame ver nos va a quedar lo siguiente 6x cúbica por 2 en el numerador 6x kubica x y esto en el numerador y en el denominador nos va a quedar 5 por 3x de lujo y bueno podemos simplificar un poco esto si dividimos todo entre x déjame ver si dividimos todo entre x entonces este se va y me va a quedar 1 éste se va y me va a quedar x cuadrada muy bien y también podemos dividir todo entre 3 si dividimos todo entre 3 este se va y también me queda 1 y bueno 6 entre 3 lo podemos dividir y me queda 2 así que en la parte de arriba en el denominador voy a obtener 2x cuadrada por 2 lo cual es 4x cuadrada y en la parte de abajo me va a quedar 5 por 1 por 1 lo cual es 5 recuerda que estos se están multiplicando y estos también se están multiplicando muy bien entonces mi respuesta es 4 x cuadrada entre 5 que por cierto también podemos escribir como cuatro quintos cuatro quintos de equis cuadrada muy bien ahora imagínate no sé que alguien está en la calle y te pregunta para qué valores está definida esta expresión que tengo aquí cuatro quintos de equis cuadrada bueno pues tú vas a contestar yo puedo poner cualquier equis aquí en por ejemplo puedo poner el valor de x igual a cero porque bueno pero al cuadrado es cero por cuatro quintos esto me quedaría cero y puedo poner cualquier valor que se me ocurra justo en esta expresión ahora bien imagínate que esa misma persona te pregunta cómo se debe restringir esta expresión que tengo aquí para que sea algebraica mente equivalente a la primera expresión a la expresión con la que empezamos bueno necesitarías decir que la primera expresión no está definida para todas las x por ejemplo si x fuera igual a 0 entonces justo aquí estaríamos dividiendo entre 0 lo que ya que esta expresión no estuviera definida por lo que explícitamente podemos decir que x no puede ser igual a 0 entonces si quieres que cuatro quintos de x cuadrada se algebraica mente equivalente a esta expresión que tengo aquí entonces tendrías que poner la misma condición x no puede ser 0 x no puede ser 0 otra manera de pensarlo es la siguiente déjame subir un poco la pantalla imagínate que ahora quieres tomarte lo siguiente no sé vamos a suponer que tú defines una función que se llama fx y esta función fx es igual a 6x cúbica entre 5 y esto a su vez multiplica a 2 entre 3 x y alguien te dice cuánto vale efe de cero bueno pues tú puedes decir que f de 0 no está definido para esta función déjame ponerlo así efe de 0 indefinido pero bueno a lo mejor te preguntas si puedes simplificar esto un poco para obtener la misma función y estamos viendo que esto se puede simplificar a lo siguiente vas a llegar a que fx va a ser de la forma déjame ponerlo así cuatro quintos de x cuadrada cuatro quintos de x cuadrada pero ten cuidado porque si estás definiendo aquí esta función en el valor de cero vas a obtener un valor f de 0 en esta función es lo mismo que 0 y nosotros no queremos eso queremos que f de 0 sea indefinido lo que hace que esta función sea una función distinta a la que teníamos en un principio en esta manera como están escritas estas dos funciones son funciones distintas entonces para aclarar que estas dos funciones son equivalentes entre sí son algebraica mente equivalentes entre sí entonces tenemos que poner la restricción de que x no puede ser cero x no puede ser 0 y ahora si estas dos funciones son equivalentes ya que si te preguntan ahora por el valor de f de 0 en esta función f de 0 en esta función bueno pues vas a decir que x no puede ser igual a 0 entonces en este caso efe de 0 es indefinido y sabes si x fuera cualquier cosa distinta esto tendría un valor pero no está definida para el 0 y ahora si puedes afirmar que estas dos funciones son funciones equivalentes perfecto y ahora vamos a pensar justo en esta división que tenemos aquí pero vamos a pensarla de una manera parecida a lo que pasó acá arriba tenemos ahora esta división de aquí y bueno inmediatamente cuando ves esto te puedes preguntar cuál es la restricción aquí la restricción en este caso es que x no puede ser igual a 0 no puede ser igual a 0 porque cuando tú pones el valor de 0 justo aquí estás dividiendo entre 0 entonces en esta expresión de aquí hemos decir explícitamente que x no puede tomar el valor de 0 independientemente de que nos dé de expresión equivalente después de simplificar un poco esta expresión sea lo que sea que obtengamos aquí para que el resultado sea algebraica mente equivalente a la expresión original entonces tenemos que dar la misma restricción bueno pues vamos a trabajarlo vamos a hacer esta división y bueno dividir 2 x a la cuarta entre 7 entre 5 x la cuarta entre 4 es exactamente lo mismo déjame ponerlo con este color que tomarme 2 x a la cuarta entre 7 ya esto multiplicarlo lo voy a hacer con este color ya esto multiplicarlo por el recíproco de este por 4 entre 5 x a la cuarta potencia y bueno así va a ser mucho más fácil resolverlo porque esto aquí va a ser igual esto va a ser igual 8x a la cuarta potencia 2x a la cuarta por 4 es 8x a la cuarta entre 7 por 5 es 35 35 x a la cuarta potencia muy bien y si ahora queremos simplificar un poco esta expresión podemos dividir tanto arriba como abajo entre x a la cuarta y simple y sencillamente me voy a quedar con 8 entre 35 y 8 entre 35 y una vez más aquí estás viendo 8 sobre 35 y esto va a estar definido para cualquier x de hecho x ni siquiera está involucrada en esa expresión pero ojo si queremos que esta expresión sea algebraica mente equivalente a la expresión con la que empezamos entonces tenemos que dar la misma restricción x no puede ser igual y bueno sabes decir que x no puede ser igual a 0 en una expresión donde x no está involucrada parece que no tienen nada de sentido pero si lo pensamos en términos de una función que vamos a construir ahorita no sé se me ocurre pensar en la función g g de x y definimos ag de x como todo esto que tenemos aquí y bueno por otra parte simplificamos justo esto y llegamos a kg de x es igual a 8 entre 35 ahora observa en esta primera expresión de x igual a 2x a la cuarta sobre 7 entre 5 x a la cuarta sobre 4 bueno pues 70 en esta expresión es indefinido no está definido pero si dices aquí gdx igual a 8 sobre 35 y ahora piensas en que de 0 bueno pues si está definido que de 0 es igual a 8 sobre 35 lo que haría que esta función de aquí fuera una función distinta a la función original entonces para hacer estas expresiones algebraica mente equivale es lo que tenemos que hacer es lo siguiente podemos definir la función de x de la siguiente manera podemos decir que la función g de x es la función que toma el valor del 8 sobre 35 para x distinta de 0 para x distinta de 0 y es indefinida para x igual a 0 para x igual a 0 o bueno si quieres puedes prescindir del último renglón y quedarte solamente con la parte de arriba y esto literalmente haría indefinido el valor de x igual a 0 y ahora ya está sabemos que estas dos expresiones que tengo aquí esta expresión de aquí y mi expresión original son algebraica mente equivalentes a pesar de que ya la hallamos simplificado