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Álgebra 2

Curso: Álgebra 2 > Unidad 9

Lección 3: Simetría de funciones
Matemáticas
Álgebra 2
Transformaciones de funciones
Simetría de funciones
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Simetría de polinomios

Google Classroom
Aprende cómo determinar si un polinomio es par, impar, o ninguno de los dos.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Se muestra una parábola simétrica en x es igual a cero en un plano de coordenadas x y. Su vértice está en (cero, cero). Como x tiende a infinito negativo, el valor de y tiende a infinito. Como x tiende a infinito, el valor de y tiende a infinito.
Una función es una función par si su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
Algebraicamente, f es una función par si f(−x)=f(x) para todo x.
Se muestra una función cúbica en un plano de coordenadas x y. Su punto medio está en (cero, cero). Como x tiende a infinito negativo, y tiende a infinito negativo. Como x tiende a infinito, y tiende a infinito. La gráfica es cóncava hacia abajo desde el intervalo infinito negativo hasta cero. La gráfica es cóncava hacia arriba desde el intervalo cero hasta el infinito.
Una función es una función impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Algebraicamente, f es una función impar si f(−x)=−f(x) para todo x.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestra Introducción a la simetría de funciones.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás cómo determinar si un polinomio es par, impar, o ninguno de los dos, de acuerdo a la ecuación del polinomio.

Investigación: simetría de monomios

Un monomio es un polinomio con un solo término. Los monomios tienen la forma f(x)=axn, donde a es un número real y n es un entero mayor o igual a 0.
En esta investigación vamos a analizar la simetría de varios monomios, para ver si podemos establecer condiciones generales que determinen si un monomio es par o impar.
En general, para determinar si una función f es par, impar, o ninguna de las dos, analizamos la expresión de f(−x):
  • Si f(−x) es la misma que f(x), entonces sabemos que f es par.
  • Si f(−x) es la opuesta de f(x), entonces sabemos que f es impar.
  • De otra forma, no es par ni impar.
Como un primer ejemplo, determinemos si f(x)=4x3 es par, impar, o ninguna de las dos.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3Simplifica=−f(x)Pues f(x)=4x3
Aquí f(−x)=−f(x), así que la función f es impar.
Ahora intenta algunos ejemplos tú mismo, a ver si encuentras un patrón.
1) ¿Es g(x)=3x2 par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

2) ¿Es h(x)=−2x5 par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

Concluir la investigación

De los ejemplos anteriores, vemos que si f es una función monomial de grado par, entonces la función f es una función par. Similarmente, si f es una función monomial de grado impar, entonces la función f es una función impar.
Función parFunción impar
Ejemplos g(x)=3x2h(x)=−2x5
En generalf(x)=axn donde n es parf(x)=axn donde n es impar
Esto es porque (−x)n=xn cuando n es par, y (−x)n=−xn cuando n es impar.
¡Esta es probablemente la razón original por la cual las funciones se han llamado par e impar!

Investigación: simetría de polinomios

En esta investigación examinaremos la simetría de polinomios con más de un término.

Ejemplo 1: f(x)=2x4−3x2−5

Para determinar si f par, impar, o ninguna de las dos, encontramos f(−x).
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xn cuando n es par=2x4−3x2−5Simplifica=f(x)Pues f(x)=2x4−3x2−5
Como f(−x)=f(x), la función f es una función par.
Observa que no todos los términos de f tienen grado par.

Ejemplo 2: g(x)=5x7−3x3+x

Nuevamente empezamos por encontrar g(−x).
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn cuando n es impar=−5x7+3x3−xSimplifica
En este punto observa que cada término de g(−x) es el opuesto de cada término de g(x). En otras palabras, g(−x)=−g(x), así que g es una función impar.
Observa que todos los términos de g tienen grado impar.

Ejemplo 3: h(x)=2x4−7x3

Encontremos h(−x).
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 y (−x)3=−x3=2x4+7x3Simplifica
2x4+7x3 no es lo mismo que h(x), ni tampoco el opuesto de h(x).
Mathemáticamente, h(−x)≠h(x) y h(−x)≠−h(x), así que h no es par ni impar.
Observa que h tiene un término de grado par y uno de grado impar.

Concluir la investigación

En general, podemos determinar si un polinomio es par, impar o ninguno de los dos, al examinar cada término individualmente.
xRegla generalPolinomio de ejemplo
ParUn polinomio es par si cada término es una función par.f(x)=2x4−3x2−5
ImparUn polinomio es impar si cada término es una función impar.g(x)=5x7−3x3+x
NingunoUn polinomio no es par ni impar si contiene funciones tanto pares como impares.h(x)=2x4−7x3

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es f(x)=−3x4−7x2+5 par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

4) ¿Es g(x)=8x7−6x3+x2 par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

5) ¿Es h(x)=10x5+2x3−x par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

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  • Avatar purple pi purple style para el usuario nicoguzmanp
    Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “La función es simétrica s...” de nicoguzmanp
    La función es simétrica si al doblarse por el eje de simetría se superponen, no? Si es así, ¿por qué x^2 es una función simétrica y (x-1)^2 no lo es?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
    • Avatar piceratops seedling style para el usuario Dark Papaya 31
      Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Realmente la paridad de f...” de Dark Papaya 31
      Realmente la paridad de funciones solo refleja (jaja que ironico) el echo de hablar de x= 0 o y=0 , osea los ejes, pero (x-1)^2 claro que es simetrica, respecto de x=1, que quiere decir esto, que un brazo de la parabola puede obterse al reflejar el otro brazo a traves de x=1.

      Fijate que (x-1) indica un desplazamiento a la derecha de una unidad, por lo que el eje de simetria se mueve de 0 a 1
      (1 voto)
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