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Ejemplo: graficar y=3⋅sin(½⋅x)-2

En este video graficamos y=3⋅sin(½⋅x)-2 al pensar acerca de la gráfica de y=sin(x), y analizar cómo cambia la gráfica (incluyendo la línea media, la amplitud y el periodo) a medida que aplicamos transformaciones para ir de y=sin(x) a y=3⋅sin(½⋅x)-2. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

Nos piden graficar y = 3 • sin (½x) -2 en el  graficador interactivo que encontrarás en Khan   Academy. Pero antes vamos a mencionar cómo  funciona este graficador: este punto aquí te   ayuda a definir la línea media alrededor de lo que  oscila tu función seno o coseno, y luego defines   un punto extremo cercano, que será el punto máximo o mínimo para graficar tu función. Así que pensemos   en cómo haríamos esto y, como siempre, te invito a  que pauses el video y trates de resolverlo por tu   cuenta. Pero una forma de pensar en esto es: si  esto sólo dijera y = sin (x), ¿cómo graficarías   eso? Bueno, el seno de 0 es 0, el seno de π /  2 es 1, y luego el seno de π es 0 nuevamente.   Así es como se vería el seno de x normal. Ahora  pensemos qué es diferente aquí. Bueno, en primer   lugar no es sólo sin (x), es sin (½x), entonces,  ¿cuál sería la gráfica del sin (½x)? Bueno,   en realidad hay dos formas de pensar en ello:  una es que el coeficiente del término x te dice   qué tan rápido está creciendo lo que se ingresa en  el seno, esto crecerá la mitad de rápido, por lo   que su periodo será el doble de largo. Entonces,  una forma de verlo es que, en lugar de llegar al   siguiente punto máximo de π / 2, llegará allí en  π, y puedes probar esto: cuando x = π esto será   ½π, seno (½π) es, de hecho, igual a 1. Otra forma  de pensar en esto es si estás familiarizado con   la fórmula, aunque siempre es mejor deducir de  dónde vienen estas fórmulas. Que para calcular   el periodo de una función seno o coseno, tomas 2π  y lo divides entre lo que sea este coeficiente:   2π / ½ va a ser 4π, y puedes ver el periodo aquí:  subimos, bajamos y volvemos a donde estábamos en   4π. Y eso tiene sentido porque, si sólo tuvieras  un coeficiente 1 aquí, tu periodo sería 2π,   y 2π radianes completan un círculo unitario. Así  que aquí tenemos la gráfica del seno (½ x). Ahora,   ¿qué pasaría si queremos pensar en tres veces  la gráfica del sin (½ x) o 3 sin (½ x)? Bueno,   entonces nuestra amplitud será tres veces mayor,  en lugar de que nuestro punto máximo esté en 1   ahora estará en 3. Otra forma de pensarlo es que  estamos 3 unidades por encima de la línea media y   3 unidades por debajo de la línea media, así que  esta de aquí es la gráfica de 3 sin (½ x). Ahora   nos queda una cosa por hacer, y es considerar  este -2, entonces este -2 va a desplazar todo   hacia abajo dos unidades, así que tenemos  que mover todo hacia abajo. Y ahí lo tienes;   observa que el periodo sigue siendo 4π. Nuestra  amplitud o qué tanto oscila por encima o por   debajo de la línea media sigue siendo 3. Y ahora  tenemos este -2. Otra forma de pensarlo es que   cuando x = 0, todo este primer término va a ser  0 y y debería ser igual a -2. Y hemos terminado.