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Transformar gráficas sinusoidales: estiramiento vertical y horizontal

CCSS.Math:
HSF.BF.B.3

Transcripción del video

se nos pide graficar la función y es igual a menos 2.5 coseno de un tercio de x en el intervalo de 0 a 6 incluyendo los extremos haré el mejor intento para graficar esto así que para iniciar voy a dibujar la función más sencilla o la versión más fácil de esto entonces es decir coseno de x así que lo graficó eventualmente bueno voy aquí a dibujar los ejes am este es el eje de las íes ahí está el eje de la sien y quiero tener algo de espacio para poder eventualmente graficar todo esto digamos que aquí están aquí está menos 1 aja menos dos uno positivo y dos positivos digamos que que esto de aquí es dos pi entonces estos dos pin así que éste puede ser y ahora bueno voy a copiar esto porque lo puedo usar después entonces voy a voy a copiar esta gráfica o en los ejes para graficar después todo entonces lo que iniciamos con ye igual a coseno de x cuando x y xi igual a 0 sólo lo haré en el intervalo de 0 a 2 espn es una función periódica así que seguirá en ambas direcciones en la dirección positiva y negativa porque es periódica entonces qué sucede cuando existe igual a cero tenemos uno ajá y qué tal cuando existió a lápiz qué pasa cuando tenemos con seno de pi cuando tenemos cocinó de pi tenemos entonces esto es igual a menos uno ajá ahora con el coste no de 2 pib nuevamente tenemos 1 y listo hemos terminado un ciclo completamos un ciclo y dos pies el periodo de la función coseno de x así que la gráfica para coseno de x se mira así y es periódica así que bueno va a seguir indefinidamente en ambas direcciones entonces bueno yo aquí solamente dibuje el ciclo entre 0 y 2 pi ahora pensemos en qué pasa qué pasa cuando gráfica mos en lugar de graficar ya igual a coseno de x voy a poner aquí la gráfica que copié en lugar de poner de dibujar igual a coseno de x voy a dibujar ye igual a coseno de un tercio de x la única diferencia es que ahora estoy multiplicando la x por este un tercio qué va a pasar aunque pasara con la gráfica como cambiará como como se va a ver esto porque ya no va a ser x será un tercio de x entonces lo haré en todo el intervalo esta vez de 0 a 6 pi aquí tenemos 34 p y 56 para que pasara con esta gráfica vamos a hombre podemos pensar en esto como como para completar todo el ciclo iremos un tercio más rápido entonces entre un tercio más rápido tres veces más lento a ver cuál es el periodo de coste no de un tercio de x el periodo es 2p dividido entre el valor absoluto de este coeficiente entonces tenemos que el período es 2 peas sobre el valor absoluto de un tercio baja lo cual es simplemente esto es igual a 2 y sobre un tercio es lo mismo que dos por 3 entonces es igual a 6 pi y vamos bien hasta aquí y le tomará tres veces más de tiempo estamos tomando un tercio de x entonces x ahora debe valer 6 pi para llegar a 2 pi como antes normalmente lo hacía entonces el periodo es ahora seis pi así que cuando existe igual a cero un tercio por cero es igual a cero coseno de cero cuánto es eso de cero es 1 entonces coseno de 0 aquí aquí tenemos el valor 1 cuando x es igual a 6 p tenemos 6 y sobre 3 eso es 2 p entonces coste 9 2p es igual a 1 ahora vamos a tomar para valores intermedios intentémoslo con qué te parece que te parece 3 pi entonces cuando x es igual es igual a 3 espn tenemos coseno de un tercio por 3 spin eso es coseno de pi y cocinó de pi es igual a menos 1 entonces bueno aquí vamos a seguir así que se va a mirar se mirarán algo así la gráfica voy a hacer el mejor intento estoy haciendo un mayor esfuerzo para dibujarlo para ir bueno ya viste que así se va a ver la gráfica ahora para ir de de la función coseno de x a la función de igual a coste no de un tercio de x esencialmente lo que estamos haciendo es estira de estirar la función por un factor de 3 puedes ver que el periodo es tres veces más largo aquí el período aquí fue de 2 pin y acá desde aquí fue de 2 pin pero acá en esta otra función acá es de 6 pi cierto entonces aquí puedes ver en esta función el periodo fue de 6 pin ahora nos falta hacer una última transformación en lugar de tener coste no de un tercio de x debemos tener menos 2.5 coseno de un tercio de x aquí ya tengo aquí tengo entonces 2003 p4p 5 y 6 p y muy bien nuestra meta es dibujar la gráfica para que igual bueno aquí tenemos aquí lo hicimos en una escala en una escala de 0 a 6 pi y acá de 0 a 2 espn son funciones periódicas seguirán indefinidamente en ambas direcciones pero ahora queremos graficar de igual a menos 2.5 coseno de un tercio de x entonces dado este cambio ahora x menos 2.5 que será bueno primero hay que hay que pensar en ciertas cosas cuál fue la amplitud en las primeras dos gráficas amd amplitud en estas primeras dos gráficas podemos pensar en esto como bueno de dos maneras puedes pensar en esto como la mitad de la distancia entre el valor mínimo y el valor máximo en ambas gráficas el valor mínimo es de menos 1 y el valor máximo es de 1 la diferencia es 2 entonces la mitad de 2 es 1 así que la amplitud aquí es igual a 1 o puedes pensarlo como bueno es el valor absoluto del coeficiente que es aquí implícitamente aquí tenemos un 1 y el valor absoluto de 1 es 1 así que cuál será la la amplitud para esta función la amplitud será el valor absoluto de lo que están multiplicando a la función coseno la amplitud en este caso será igual al valor absoluto de menos 2.5 lo cual es igual a 2.5 y ahora con esto multiplicado por el menos 2.5 que provoca a en que en qué manera transforma la gráfica pensemos un poco si multiplicar aún por un coeficiente positivo 2.5 se alargaría en cada punto crecería por un factor de 2.5 cierto pero estamos aquí multiplicando por un menos 2.5 entonces en cada punto lo que va a hacer es estirar pero luego voltear la función o reflejar la sobre el eje de las x eso es lo que está haciendo esta está alargando pero reflejando sobre el eje de las x ahora cuando x era cero tuvimos uno en este caso pero ahora voy a multiplicar ese uno por uno punto 5 y entonces aquí en menos 2.5 bueno de hecho quiero dejar esto bien claro así que en este punto aquí sería aquí sería menos 3 aquí es menos 3 y acá estrés positivo entonces este es menos 2.5 dibujo una línea punteada para obtener referencia entonces cuando nuestra función cuando coseno de un tercio de x es cero no importa por qué por qué número multiplique 0 0 por lo que sea es 0 así que aquí coseno de un tercio de x será menos 1 en el caso de x igualdad 3 y qué va a pasar con seno de un tercio vemos que es menos uno menos uno por menos 2.5 eso es igual a 2.5 positivo entonces aquí aquí tenemos voy a dibujar acá en 2.5 aquí está aquí está 2.5 entonces aquí sería el valor que buscamos luego cuando coseno de un tercio de x es igual a cero otra vez obtenemos cero muy bien entonces aquí es cero y finalmente coseno de un tercio de x cuando x es igual a 6 pi coseno de un tercio de x es igual a 1 en 61 x menos 2.5 cuánto es en efecto es menos 2.5 así que nos regresamos a este punto y ya estamos listos para hacer la gráfica de esta función de igual a menos 2.5 coseno de un tercio de x y la gráfica se mira se mira algo así después baja hasta menos 2.5 así se ve la gráfica de esta función muy bien entonces lo que ya viste viste lo que pasó poniendo este un tercio aquí alargo la gráfica incremento el periodo por un factor de 3 luego multiplicando los por menos 2.5 obtenemos esto volteándolo reflejándolo en el eje de las x ahora bien entonces bueno por lo tanto aquí lo que hace este menos 2.5 es reflejarlo y aquí la amplitud es de 2.5 baja lo que puedes ver bueno lo puedes pensar como en la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de 5 la mitad de eso es 2.5 acá si multiplicamos esta gráfica por 2.5 obtiene es algo que se mira así algo así así bajaría y después llegaría aquí y luego sube entonces se miraría algo así pero como tenemos un número negativo lo que hicimos fue voltear la gráfica reflejarla sobre el eje de las equis y bueno espero te hayan servido nos vemos pronto