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Problema verbal de trigonometría: duración del día (desplazamiento de fase)

CCSS.Math:
HSA.CED.A.2
,
HSF.BF.A.1
,
HSF.TF.B.5
,
HSF.TF.B

Transcripción del video

el día más largo del año en juneau alaska es junio 21 el cual dura 1000 96.5 minutos medio año después cuando los días son más cortos los días duran alrededor de 380 y 2.5 minutos si no es un año bisiesto el año tiene 365 días y junio 21 es el día 172 del año encuentra una función trigonométricas que modele la duración l del día de del año entonces va a ser l en función de t suponiendo que no es año bisiesto te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos bien hagámoslo en vez de encontrar directamente el dt voy a encontrar ld donde v es una variable digamos intermedia que me permite construir una función que en principio es más simple precisemos esto donde son días después días después de junio 21 veamos esto en junio 21 en junio 21 cuánto vale y son los días después de junio 21 así es que vale 0 mientras que t t es igual a 172 pues nos están diciendo que junio 21 es el día 172 del año entonces cuál es la relación entre 1 y t es simplemente una traslación de 172 días es decir y es igual a t es igual a t menos 172 cuando te vale 172 no vale cero así es que primero vamos a obtener ldv para después sustituir un porte menos 172 para empezar qué sucede cuando es igual a cero déjame escribir todo esto que sucede cuando es igual a cero cuando es igual a cero es 121 que es cuando ocurre el valor máximo y cuál es la función trigonométricas que toma su valor máximo cuando cuando su argumento es igual a 0 seno de 0 es igual a cero mientras que coseno si toma su valor máximo en 0 me parece que de alguna manera el modelo se facilita si usamos la función coseno así es que el edu va a ser igual a una constante que va a ser la amplitud x coseno de un argumento que va a estar dado por otra constante ya me molesté no mejor vamos a llamarle b dado que usamos a una constante b que multiplica a mi variable v más otra constante que va a trasladar la función hacia arriba o hacia abajo así es que esta es la forma que tiene la función l de eeuu y ahora tenemos que determinar el valor de las constantes para empezar consideramos la amplitud y la línea de en medio la línea del medio va a establecer que tanto hay que mover la función hacia arriba para esto saquemos la calculadora la línea de en medio se va a ubicar a la mitad entre estos dos números tenemos que 1000 96.5 + 380 y 2.5 entre dos esto es igual a 730 y 9.5 ese es el valor de ce así es que se es igual a 730 y 9.5 ahora la amplitud indica la variación que hay con respecto a la línea de en medio podemos calcular entonces 1000 96.5 menos esto o esto menos 380 y 2.5 hagamos eso 1000 96.5 menos el valor que acabamos de obtener 700 39.5 no 730 y 9.5 y así obtenemos esto es igual a 357 es la variación que hay con respecto a la línea de en medio 357 a es igual a 357 ahora cuánto vale b para esto hay que considerar el comportamiento de la función cuál es el periodo de la función para ver esto voy a hacer una pequeña tabla aquí así es que cuando y cuando vale 0 es decir 0 días después de junio 21 queremos que nuestra función sea el valor máximo es decir nuestra función queremos que valga 357 que multiplica al coseno de cero más 730 y 9.5 ahora cuál es la duración de un periodo un periodo es un año completo cuando los días tienen la misma duración esto es un poco de sentido común así es que después de 365 días cuando es igual a 365 se ha completado un periodo se regresará a ese valor máximo así es que el valor de la función es igual a 357 que multiplica al coseno de 2 y si estamos considerando la típica función trigonométricas coseno y este ángulo fuera un valor de theta cualquiera el periodo es 2 pi así es que el valor de la función corresponde a esto que estoy escribiendo aquí más 730 y 9.5 y ahora podemos establecer que de x 365 es igual a 22 pies igual a b x 365 vamos a escribirlo por acá x 365 esto de aquí tiene que ser igual a 2 pi esto es igual a 2 pi despejamos b dividiendo ambos lados entre 365 con lo cual obtenemos que ve es igual a 2 pi dividido entre 365 ya que así la tenemos ya encontramos a b y c y lo único que tenemos que hacer es sustituir o igual a tm 172 para obtener nuestra función de t hagamos eso y aquí merecemos unas fanfarrias tenemos entonces que el dt es igual a 357 357 que multiplica a 12 no debe que es 2 y sobre 335 coseno de 2 y sobre 365 que multiplica no a la queremos en términos de t no en términos de días después de junio 21 sino en días del año así es que multiplica a t menos 172 y eso más 730 y 9.5 y así hemos concluido parece una expresión muy complicada pero si la analizas como lo hemos hecho en términos de los valores máximos y mínimos con respecto a la línea de en medio y haces ese análisis cuando el argumento de la función es cero o dos pi de hecho es mucho más fácil con cero y después ya te preocupas por la traslación no es tan difícil en fin espero que este vídeo te haya sido útil