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Problema verbal de trigonometría: modelar la temperatura anual

CCSS.Math:
HSA.CED.A.2
,
HSF.BF.A.1
,
HSF.TF.B.5
,
HSF.TF.B

Transcripción del video

el día más caluroso del año en promedio en santiago de chile- es enero 7 cuando la media de la temperatura máxima es 29 grados centígrados el día más frío del año tiene una media de temperatura máxima de 14 grados centígrados use una función trigonométricas para modelar la temperatura en santiago de chile usando 365 días como la duración de un año recuerda que en enero 7 es verano en santiago cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados hagamos este problema en dos partes en la primera parte estableceremos una función trigonométricas para modelar la temperatura en santiago en esta tendremos la temperatura en función de los días donde los días son los días transcurridos después de enero 7 una vez que tengamos esa función podremos contestar la parte esencial del problema la pregunta cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados empecemos entonces construyendo una gráfica a partir de la cual nos va evidente porque están sugiriendo una función trigonométricas para modelar esto estamos hablando de variaciones estacionales de temperatura son cíclicas aumenta disminuye aumenta de hecho si gráfica la temperatura promedio para cualquier ciudad a lo largo del año vas a obtener una función trigonométricas así es que hagamos que este eje horizontal represente el transcurrir del tiempo en días con amoled son días después de enero 7 así es que aquí tendríamos el 7 de enero y el eje vertical este es el eje horizontal el eje vertical va a ser la temperatura en grados centígrados así es que para el 7 de enero la temperatura máxima promedio es 29 29 grados centígrados mientras que para el día más frío la máxima promedio es de 14 14 grados centígrados vamos a ponerlo por aquí de tal manera que las temperaturas máximas van a variar entre este rango de valores la temperatura máxima del día más caluroso que es 29 grados centígrados y el promedio de temperatura máxima del día más frío que es 14 grados centígrados entonces recordamos que son temperaturas medias máximas para santiago de chile- y la razón por la cual es una función trigonométricas es porque estamos modelando un fenómeno cíclico si el 7 de enero tienes una cierta temperatura 365 días después vas a tener la misma temperatura si el 7 enero hay 29 grados centígrados en promedio como temperatura máxima 365 días después el 7 enero del año siguiente se va a tener la misma temperatura máxima de 29 grados centígrados y el punto medio se va a alcanzar a la mitad pues estamos usando una función trigonométricas exactamente a la mitad vamos a alcanzar el punto medio así es que nuestra función trigonométricas se va a ver más o menos como eso voy a hacer aquí en el punto mínimo más o menos así y luego aquí en la parte del primer valor máximo más o menos así aquí tenemos nuestra función trigonométricas y también aquí en el segundo máximo y el aquí está es la gráfica de un periodo completo de la función trigonométricas el periodo es de 365 días después de 365 días me encuentro en el mismo punto del ciclo cuando ha pasado un ciclo completo estoy en el mismo día del año ahora ya que hemos construido la gráfica lo que quiero hacer es obtener el modelo la función que vamos a denominar t mayúscula en términos de d queremos una expresión para la temperatura t en términos de los días de hace una pausita t pensar en esta función te recuerda es una función trigonométricas supongo que ya lo intentaste y te preguntaste bueno esto parece una función se en una función coseno cual debo de usar de hecho puedes usar cualquiera de las dos pero yo siempre prefiero usar la más fácil aquí lo que podemos considerar es que si estos fueran valores de ángulos cuál sería la función trigonométricas que corta el eje y en su valor máximo bien coseno de cero es uno mientras que seno de cero es cero así es que nos conviene utilizar la función coseno vamos a usar la función coseno así es que temperatura de en función de los días de va a ser igual a cierta amplitud que vamos a calcular multiplicada por coseno de algún argumento que va a incluir los días y también tendremos que incluir cierta traslación de la función veamos como hacemos esto cuál sería la línea media aquí la línea media se ubica justo a la mitad entre el valor máximo y el valor mínimo la podríamos visualizar más o menos más o menos por aquí estaría la línea media y cuál es este valor calculamos el promedio entre 29 14 29 14 43 entre 2 este punto medio corresponde a 21.5 grados centígrados la función coseno le estamos trasladando entonces 21.5 unidades hacia arriba si fuera la función coseno usual tendría su línea media en el eje x pero esta función la estamos trasladando en 21.5 esa es la traslación ahora cuál es la amplitud la amplitud es que tanto se aleja la función de la línea media aquí estamos punto 57.5 unidades arriba de la media y aquí estamos 7.5 unidades abajo de la línea media así es que nuestra amplitud la mayor variación que hay con respecto a la línea media es de 7.5 y ahora veamos cuál es el argumento de la función coseno aquí sabemos que va a ser una función de de de los días y que queremos bien como vemos en la gráfica queremos que cuando hayan transcurrido 365 días este argumento sea 2 pi así es que cuando decía igual a 365 queremos que esto sea igual a 2 pi es decir multiplicamos de por 2 pi entre 365 y quizá tú te acuerdas de las fórmulas a mí siempre se me olvidan por eso siempre trato de razonar las no sé aquella que te dice que hay que dividir entre dos y para obtener el periodo la función y esas fórmulas que hay pero lo que razonamos aquí fue después de un periodo cuando de es igual a 365 quiero que todo el argumento sea dos pi quiero haber dado una vuelta completa al círculo unitario así es que de es 365 multiplica por doscientos trescientos sesenta y cinco se cancelan los tres 165 y nos queda tan solo dos y ahí está ya la tenemos ya hemos hecho la primera parte de este problema hemos conseguido modelar la temperatura promedio máxima en santiago de chile en función de los días después del 7 de enero en el siguiente vídeo contestaremos esta segunda pregunta y te invito a que pruebes encontrar la solución por tu cuenta y te voy a dar una ayuda asegúrate de tomar en cuenta que se están refiriendo al primer día de primavera