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Los puntos de intersección de y=sin(x) y y=cos(x)

Transcripción del video

en cuántos puntos se intersectan las gráficas de igual al seno de eta y igual al coce note tram para am 0 menor o igual a teta de menor o igual a 2 pi observa que vamos a incluir al 0 y al 2 pib entre los posibles valores de teta bueno para hacer esto hice una pequeña tabla para theta para el concepto de teta y para el seno de teta la cual podemos usar junto con el círculo unitario para obtener una efectiva y rápida gráfica de las funciones e igual al seno de teta y de la función y igual al coseno de teta y luego podemos pensar en cuántas veces se intersectan y donde se intersectan así que vamos a iniciar para ser claros este es el círculo unitario y aquí tiene el eje de las equis y este es el eje de las diez y aquí tenemos el eje teta y este es el eje y y bueno vamos a graficar las dos funciones así que primero pensemos en qué pasa cuando teta es igual a cero cuando teta es igual a cero estamos en este punto de que en el círculo unitario y en qué coordenadas estamos bueno es la coordenada 10 así que con base en este punto cuál es el valor del coche no detectan cuando teta es igual a cero bueno el coseno de teta es uno y el seno de tetas será cero esta es la coordenada x en el punto de intersección con el círculo unitario y esta es la coordenada que bien sigamos veamos qué pasa con pi medios en primeros estamos ubicados aquí en qué coordenadas estamos bueno aqui x es igual a cero y que es igual a uno ahora con base en esto jose no detectan va a ser igual a cero y siendo de teta es igual a uno es la coordenada de este punto hagamos lo mismo para ti ahora nos ubicamos en pi y llegamos a este punto del círculo unitario en qué coordenadas estamos bueno aquí x es igual a menos 1 y que es igual a cero estamos en el punto menos 10 entonces cuál es el coche no detecta cuando te desigual a pin bueno es la coordenada x de aquí que es menos 1 y seno de tetas era la coordenada jeff la cual es cero sigamos ahora vamos a bajar hasta 3 metros vamos a dar esta vuelta hasta tres primeros aquí en qué coordenadas estamos bueno aqui x es igual a 0 y ya es igual a menos 1 entonces el coche no detecta cuando t t es igual a 3 primeros es igual a 0 que es la coordenada x de este punto y el seno de tete es igual a menos 1 es la coordenada y de este punto finalmente regresaremos a dos pies estaremos dando una vuelta completa el círculo y por lo tanto regresaremos a este punto de aquí así que las coordenadas serán las mismas que teníamos en un ángulo de cero radiales cuántos el concepto de t tan bueno es uno y el seno de teta es cero y con estos valores podemos hacer un boceto de la gráfica después pensar en donde se intersectan primero hagamos la gráfica para la función coseno de teta antes déjame marcar que aquí es igual a 1 y acá abajo de igual a menos 1 entonces cuando te tercero con senos de 31 cuando te traes pri medios dt es cero cuando theta espn con 171 cuando te des tres primeros con senos de 70 y por último cuando te traes dos picos seno de teta es uno y la curva se va a ver así este es mi mejor intento para dibujar la puedes ver una curva suave déjame escribirlo esta es la gráfica iguala coseno de teta ahora hagamos lo mismo para el seno de teta cuando ted es igual a cero el seno de eta es igual a cero cuando t t es igual la pyme dios el seno de teta es igual a 1 cuando tt es igual a pin el seno de teta es igual a cero cuando a teta es igual a tres primeros el seno de eta es igual a menos uno y por último cuando teta es igualdad 2 pin el seno de teta es igual a cero y la curva se va a ver a algo así ya está ahora sí enfoquémonos en la pregunta en cuántos puntos inter secan las gráficas de ye igual al seno de teta y de igual al coseno dt está para 0 menor o igual que te está menor igual que 2 pib incluyendo al 0 y 2 espn bueno si observamos la gráfica podemos ver dos puntos de intersección esto entre 0 y 2 pies ya que estas son gráficas cíclicas así que seguirán inter secándose pero en este intervalo sólo se intersectan dos veces ahora pensemos un poco en qué valor tomate está en esas intersecciones porque parece que tomamos un valor entre 0 y pi medios y otro valor entre pin y tres primeros para buscar estos valores observemos el círculo unitario y pensemos en cuales podrán ser parece que es pi cuartos así que vamos a verificarlo pensemos en qué valores toman estas funciones en pi cuartos y cuartos es este ángulo o es el punto final de este trazo pi cuartos es exactamente lo mismo que 45 grados así que pensemos en qué coordenadas estamos cuando tt es igual a pi cuartos y para esto hagamos un triángulo rectángulo que conocemos acerca de él voy a hacerlo más grande por acá abajo para que lo veamos mejor este triángulo rectángulo es un triángulo que vale la pena familiarizarse con él sabemos que es un triángulo rectángulo y que este ángulo mide 45 grados ahora cuál es el largo de la hipotenusa bueno es un círculo unitario tiene un radio de 1 por lo tanto la longitud de la hipotenusa es 1 y que sabemos de este ángulo de aquí bueno sabemos que también debe medir 45 grados porque la suma de todos los ángulos debe dar 180 grados y si estos dos ángulos son los mismos entonces sabemos que estos dos lados deben medir lo mismo y ahora podemos usar el teorema de pitágoras para obtener estos dos lados usando el teorema de pitágoras y la conclusión de que estos dos lados son iguales podremos encontrar la longitud de los lados bueno si decimos que este lado tiene una longitud de amd entonces este otro lado también tiene una longitud de a y podemos usar el teorema de pitágoras y decir a cuadrada más a cuadrada es igual a 1 porque los dos lados miden lo mismo o dicho de otra manera 2a cuadrada es igual a 1 o cuadrada es igual a 1 y si tomamos la raíz cuadrada principal de ambos lados obtendremos que a es igual a la raíz cuadrada de un medio que es lo mismo que la raíz cuadrada de uno que es 1 entre la raíz cuadrada de dos ahora bien podemos racionalizar el denominador multiplicando por raíz de dos entre raíz de dos y así obtener que amd es igual al numerador que tengo uno por raíz de dos lo cual la raíz de dos y en el denominador tengo raíz de dos por raíz de dos lo cual es 2 por lo tanto este lado es de raíz de 2 entre 2 y este otro lado vale lo mismo es decir esta base de equivale a raíz de 2 entre 2 y esta altura vale lo mismo así que con base en esto cuáles son las coordenadas de este punto bueno será raíz de dos entre dos o más raíces de dos entre dos x es igual a raíz de 2 entre 2 y que también es igual a raíz de 2 entre 2 por lo tanto jose no detecta que es la coordenada x va a ser raíz de 2 entre 2 y el seno de teta que es la coordenada james también va a ser raíz de 2 entre 2 por lo tanto puedes ver que en efecto toman el mismo valor en este punto y por lo tanto podemos decir que en este punto ambas gráficas toman el valor de raíz de 2 entre 2 ahora que hay de este punto de aquí que está entre pi y tres primeros parece que está justo en medio de ambos veamos en el círculo unitario este spin estos tres primeros así que tenemos de candidato a este valor en medio de ambos que es pi cuartos más pib lo cual es bueno y más pi cuartos es lo mismo que cuatro cuartos más pi cuartos que es 54 así que este ángulo de aquí es cinco cuartos y vamos a intentar encontrar sus respectivos valores bueno hay varias formas de obtenerlos puedes usar un poco de geometría y decir si este es un ángulo de 45 grados entonces este ángulo de aquí también es de 45 grados puedes decir que el ángulo de referencia ha visto en grados es también de 45 y podemos hacer algo similar podemos dibujar un triángulo rectángulo sabemos que la hipotenusa es de 1 sabemos que es un triángulo rectángulo y por lo tanto este otro ángulo también mide 45 grados tenemos un triángulo que es muy similar al otro de hecho son triángulos congruentes por lo tanto tenemos un triángulo 45 grados 45 grados 90 grados cuando la hipotenusa de uno entonces podemos concluir que la longitud de este lado también será de raíz de 2 entre 2 y la longitud de este otro lado también será de raíz de 2 / usando la misma lógica que vimos anteriormente así que con base en esto cuál es la coordenada de este punto bueno pensemos en el valor x de este punto va a raíz de 2 entre 2 en dirección negativa es decir vamos raíz de 2 entre 2 a la izquierda del origen entonces serán menos raíz de 2 entre 2 que pasa con james bueno tenemos que ir a raíz de 2 entre 2 hacia abajo del origen por lo tanto también es de menos raíz de 2 entre 2 jose no de teta es menos raíz de 2 entre 2 y seno de teta también es de menos raíz de 2 entre 2 así que puedes ver que en efecto tomamos de nuevo el mismo valor para las dos funciones y por lo tanto ya hemos encontrado ambos valores en donde las gráficas se intersectan así que hemos terminado nos vemos del siguiente vídeo